विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (संख्या पद्धति) अध्याय: 1.1 संख्या पद्धति विषय-वस्तु: संख्या प्रणाली, प्राकृत/पूर्ण/पूर्णांक/परिमेय/अपरिमेय संख्याएँ
संख्या पद्धति गणित की वह मूलभूत शाखा है जिसके आधार पर सम्पूर्ण गणितीय संरचना खड़ी होती है। रेलवे ग्रुप D परीक्षा में गणित का प्रश्न पत्र सरल किन्तु गति-आधारित होता है, और संख्या पद्धति से प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं। यदि इस अध्याय की अवधारणाएँ स्पष्ट हों तो परिमेय, अपरिमेय, अभाज्य एवं भाज्य संख्याओं से जुड़े प्रश्न सेकंडों में हल हो जाते हैं।
परीक्षा में संख्या पद्धति से प्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय संख्याओं की पहचान, इकाई अंक, विभाज्यता के नियम तथा संख्या रेखा पर तुलना से प्रश्न पूछे जाते हैं। अधिकांश प्रश्न एक या दो चरणों में हल हो जाते हैं, परंतु सही अवधारणा के अभाव में सामान्य संख्याओं पर भी उम्मीदवार अटक जाते हैं। इसलिए प्रत्येक प्रकार की संख्या की परिभाषा, उदाहरण और गुणों को कंठस्थ करना अत्यंत आवश्यक है।
इस अध्याय में हम संख्याओं के प्रकारों की परिभाषा, उनके गुण, उदाहरण तथा रेलवे परीक्षा स्तर के हल सहित प्रश्नों का विस्तार से अध्ययन करेंगे। साथ ही त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाओं, माइंड मैप और सामान्य गलतियों के माध्यम से सम्पूर्ण तैयारी सुनिश्चित की जाएगी। अंत में दी गई परीक्षा युक्तियाँ समय प्रबंधन में महत्वपूर्ण सहायक होंगी।
प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers): गिनती में प्रयुक्त होने वाली संख्याएँ 1, 2, 3, 4, ... प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं। इन्हें N से प्रदर्शित किया जाता है। N = {1, 2, 3, 4, ...}। सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है तथा प्राकृतिक संख्याओं की संख्या अनंत है।
पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers): प्राकृतिक संख्याओं में 0 जोड़ने पर प्राप्त समुच्चय पूर्ण संख्याएँ कहलाता है। W = {0, 1, 2, 3, ...}। सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 है। 0 ही एकमात्र ऐसी संख्या है जो पूर्ण है किन्तु प्राकृतिक नहीं।
पूर्णांक संख्याएँ (Integers): पूर्ण संख्याओं में ऋणात्मक संख्याओं को मिलाने पर पूर्णांक प्राप्त होते हैं। Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}। पूर्णांकों का कोई सबसे छोटा अथवा सबसे बड़ा अवयव नहीं होता।
हल सहित उदाहरण: 1. प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। हल: प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग = n(n+1)/2 = 10×11/2 = 55। 2. प्रथम 10 विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। हल: प्रथम n विषम संख्याओं का योग = n² = 10² = 100। 3. प्रथम 10 सम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। हल: प्रथम n सम संख्याओं का योग = n(n+1) = 10×11 = 110। 4. 2 और 4 के बीच कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं? हल: केवल 3, अर्थात एक संख्या। 5. सबसे छोटा पूर्णांक ज्ञात कीजिए। हल: पूर्णांक अनंत होते हैं, अतः कोई सबसे छोटा पूर्णांक नहीं है।
परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers): वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों तथा q ≠ 0 हो, परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। जैसे 1/2, 3/4, -7/5, 2 (= 2/1) तथा 0 (= 0/1) सभी परिमेय संख्याएँ हैं। परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या आवर्ती। जैसे 1/4 = 0.25 (सांत) तथा 1/3 = 0.333... (आवर्ती)।
अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers): वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। इनका दशमलव प्रसार अनवसानी (कभी समाप्त न होने वाला) एवं अनावर्ती (दोहराव रहित) होता है। जैसे √2 = 1.414213..., √3 = 1.732..., π = 3.14159... तथा e = 2.71828...।
वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers): परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं के संयुक्त समुच्चय को वास्तविक संख्या कहते हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या या तो परिमेय होती है या अपरिमेय, दोनों नहीं।
हल सहित उदाहरण: 1. 1/7 का दशमलव प्रसार ज्ञात कीजिए। हल: 1/7 = 0.142857142857... = 0.\overline{142857}, अर्थात आवर्ती दशमलव। 2. √9 किस प्रकार की संख्या है? हल: √9 = 3, जो परिमेय संख्या है। 3. 1/2 और 1/3 के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए। हल: माध्य (1/2 + 1/3)/2 = (5/6)/2 = 5/12। 4. 0.25 को p/q रूप में लिखिए। हल: 0.25 = 25/100 = 1/4। 5. 0.101001000100001... किस प्रकार की संख्या है? हल: यह अनवसानी एवं अनावर्ती है, अतः अपरिमेय संख्या है।
सम संख्याएँ: वे पूर्णांक जो 2 से पूर्णतः विभाज्य हों, जैसे 2, 4, 6, 8, 10। विषम संख्याएँ: वे पूर्णांक जो 2 से विभाज्य न हों, जैसे 1, 3, 5, 7, 9।
अभाज्य संख्याएँ: वे प्राकृतिक संख्याएँ जिनके केवल दो गुणनखंड हों (1 तथा स्वयं), अभाज्य कहलाती हैं। जैसे 2, 3, 5, 7, 11, 13। भाज्य संख्याएँ: वे संख्याएँ जिनके दो से अधिक गुणनखंड हों, जैसे 4, 6, 8, 9, 10।
सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime): वे दो संख्याएँ जिनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 हो, सह-अभाज्य कहलाती हैं। जैसे (8, 9) और (14, 25) सह-अभाज्य हैं, यद्यपि ये स्वयं अभाज्य नहीं हैं।
हल सहित उदाहरण: 1. सबसे छोटी अभाज्य संख्या ज्ञात कीजिए। हल: 2, जो एकमात्र सम अभाज्य संख्या भी है। 2. सबसे छोटी भाज्य संख्या ज्ञात कीजिए। हल: 4, क्योंकि 4 के गुणनखंड 1, 2, 4 हैं। 3. 1 से 100 तक अभाज्य संख्याओं की संख्या कितनी है? हल: 25 अभाज्य संख्याएँ होती हैं। 4. 5, 7, 9 में से भाज्य संख्या पहचानिए। हल: 9 = 3×3, अतः 9 भाज्य है। 5. क्या (3, 5) सह-अभाज्य हैं? हल: हाँ, HCF(3,5) = 1, और दोनों अभाज्य भी हैं।
संख्याओं के प्रकारों का तुलनात्मक सारांश | संख्या का प्रकार | समुच्चय | सबसे छोटी संख्या | उदाहरण | | --- | --- | --- | --- | | प्राकृतिक | {1, 2, 3, ...} | 1 | 1, 5, 12 | | पूर्ण | {0, 1, 2, 3, ...} | 0 | 0, 7, 20 | | पूर्णांक | {..., -1, 0, 1, ...} | कोई नहीं | -5, 0, 3 | | परिमेय | p/q, q ≠ 0 | कोई नहीं | 1/2, -3/4, 0.25 | | अपरिमेय | p/q रूप संभव नहीं | कोई नहीं | √2, π, √3 |
अभाज्य, भाज्य एवं सह-अभाज्य संख्याओं के गुण | गुण | अभाज्य | भाज्य | सह-अभाज्य | | --- | --- | --- | --- | | गुणनखंडों की संख्या | केवल 2 (1 व स्वयं) | दो से अधिक | HCF = 1 | | सबसे छोटी संख्या | 2 | 4 | (1, 2) | | सम हो सकती है? | केवल 2 | हाँ | हाँ | | उदाहरण | 2, 3, 5, 7 | 4, 6, 8, 9 | (8, 9), (14, 25) |
flowchart TD
A[संख्या पद्धति] --> B[प्राकृतिक संख्याएँ]
A --> C[पूर्ण संख्याएँ]
A --> D[पूर्णांक]
A --> E[परिमेय संख्याएँ]
A --> F[अपरिमेय संख्याएँ]
B --> G[1 से अनंत तक गिनती]
C --> H[0 भी सम्मिलित]
D --> I[ऋणात्मक भी सम्मिलित]
E --> J[p/q रूप, q ≠ 0]
F --> K[√2, π, e जैसी संख्याएँ]
संख्या पद्धति सम्पूर्ण गणित की आधारशिला है और रेलवे ग्रुप D परीक्षा में इससे नियमित प्रश्न पूछे जाते हैं। संख्याओं के प्रकारों की स्पष्ट पहचान, योग सूत्रों का कंठस्थीकरण तथा गुणनखंड विधि पर दक्षता परीक्षा में सीधे अंक दिलाती है। इस अध्याय का अभ्यास निरंतर करते रहें, ताकि सभी प्रश्न शीघ्रता एवं शुद्धता से हल हो सकें और परीक्षा में समय की बचत हो सके।