विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (संख्या पद्धति) अध्याय: 1.5 LCM और HCF विषय-वस्तु: लघुत्तम समापवर्त्य, महत्तम समापवर्तक, अभाज्य गुणनखंड विधि
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) दो या अधिक संख्याओं की वह सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जो प्रत्येक दी गई संख्या से पूर्णतः विभाज्य हो। महत्तम समापवर्तक (HCF) दो या अधिक संख्याओं का वह सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड है जो प्रत्येक संख्या को पूर्णतः विभाजित करता है। इसे GCD (Greatest Common Divisor) भी कहते हैं।
रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में LCM और HCF से शब्दों पर आधारित प्रश्न (word problems) अधिक आते हैं, जैसे घंटियाँ एक साथ बजना, टाइलें बिछाना, सैनिकों की टोली बनाना, बर्तनों की माप आदि। इन प्रश्नों में यह निर्णय करना आवश्यक है कि प्रश्न में LCM का प्रयोग होगा या HCF का।
इस अध्याय में हम अभाज्य गुणनखंड विधि और भाग विधि से LCM व HCF ज्ञात करना, LCM तथा HCF के मध्य संबंध, भिन्नों के LCM-HCF तथा रेलवे परीक्षा स्तर के शब्द प्रश्नों का अध्ययन करेंगे। शब्द प्रश्नों में LCM और HCF की पहचान की तकनीक विशेष महत्व रखती है।
अभाज्य गुणनखंड विधि से HCF: प्रत्येक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखें। फिर सभी संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात वाले गुणनखंडों का गुणनफल HCF होता है।
अभाज्य गुणनखंड विधि से LCM: सभी संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की अधिकतम घात वाली संख्या लेकर उनका गुणनफल LCM होता है।
हल सहित उदाहरण: 1. 12, 18 का HCF अभाज्य गुणनखंड विधि से ज्ञात कीजिए। हल: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3²; उभयनिष्ठ न्यूनतम घात: 2¹ × 3¹ = 6। 2. 12, 18 का LCM ज्ञात कीजिए। हल: 2² × 3² = 4 × 9 = 36। 3. 15, 25, 30 का LCM ज्ञात कीजिए। हल: 15 = 3 × 5, 25 = 5², 30 = 2 × 3 × 5; LCM = 2 × 3 × 5² = 150। 4. 16, 24 का HCF ज्ञात कीजिए। हल: 16 = 2⁴, 24 = 2³ × 3; HCF = 2³ = 8।
भाग विधि से HCF: बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें, फिर शेष से भाजक को भाग दें; यह प्रक्रिया तब तक दोहराएँ जब तक शेष शून्य न हो। अंतिम भाजक ही HCF होता है। तीन से अधिक संख्याओं के लिए पहले दो का HCF निकालें, फिर उससे तीसरी का HCF ज्ञात करें।
भाग विधि से LCM: सभी संख्याओं को एक साथ उभयनिष्ठ अभाज्य संख्याओं से विभाजित करते जाएँ; जो संख्या विभाज्य न हो उसे नीचे वैसे ही लिखें। अंत में सभी भाजकों और शेष संख्याओं का गुणनफल LCM होता है।
महत्वपूर्ण संबंध: दो संख्याओं के लिए LCM × HCF = पहली संख्या × दूसरी संख्या।
हल सहित उदाहरण: 1. भाग विधि से 36, 48 का HCF ज्ञात कीजिए। हल: 48 ÷ 36 → शेष 12; 36 ÷ 12 → शेष 0; अतः HCF = 12। 2. 36, 48 का LCM ज्ञात कीजिए। हल: LCM × HCF = 36 × 48, अतः LCM = 1728/12 = 144। 3. 15 और 25 का LCM ज्ञात कीजिए जब HCF 5 है। हल: LCM = (15 × 25)/5 = 75। 4. 24 = 2³ × 3 है, तो 24 के कुल कितने भाजक हैं? हल: (3 + 1)(1 + 1) = 8 भाजक।
LCM कब प्रयोग करें: जब प्रश्न में दोहराव, चक्र, एक साथ मिलना, अगली बार मिलना, समय ज्ञात करना हो। जैसे घंटियाँ, ट्रैफिक लाइट, एक साथ दौड़ पूरी करना।
HCF कब प्रयोग करें: जब प्रश्न में किसी वस्तु को बराबर-बराबर भागों में बाँटना, अधिकतम माप, अधिकतम क्षमता, अधिकतम सदस्यों की टोली ज्ञात करनी हो।
हल सहित उदाहरण: 1. दो घंटियाँ क्रमशः 12 और 18 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। कितने मिनट बाद दोनों एक साथ बजेंगी? हल: LCM(12, 18) = 36 मिनट। 2. 45 और 60 मीटर लंबे कपड़े की अधिकतम लंबाई कितनी होगी जिससे दोनों पूरे कट सकें? हल: HCF(45, 60) = 15 मीटर। 3. तीन घंटियाँ 6, 8, 12 सेकंड पर बजती हैं। कितने सेकंड बाद तीनों एक साथ बजेंगी? हल: LCM(6, 8, 12) = 24 सेकंड। 4. 24 और 36 विद्यार्थियों की दो कक्षाओं को बराबर-बराबर टोलियों में बाँटने के लिए अधिकतम टोली का आकार? हल: HCF(24, 36) = 12। 5. 3 से विभाजित करने पर 2, 5 से विभाजित करने पर 4 और 7 से विभाजित करने पर 6 शेष देने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए। हल: यहाँ संख्या = LCM(3, 5, 7) − 1 = 105 − 1 = 104।
कुछ संख्याओं के LCM और HCF | संख्याएँ | अभाज्य गुणनखंड | HCF | LCM | | --- | --- | --- | --- | | 12, 18 | 12 = 2²×3, 18 = 2×3² | 6 | 36 | | 15, 25 | 15 = 3×5, 25 = 5² | 5 | 75 | | 16, 24 | 16 = 2⁴, 24 = 2³×3 | 8 | 48 | | 9, 12, 18 | 9 = 3², 12 = 2²×3, 18 = 2×3² | 3 | 36 |
शब्द प्रश्न में LCM या HCF की पहचान | संकेत | स्थिति | विधि | | --- | --- | --- | | एक साथ बजना, मिलना | घंटियाँ, ट्रैफिक लाइट | LCM | | अधिकतम माप | कपड़ा काटना, बर्तन | HCF | | न्यूनतम संख्या | किसी संख्या से विभाज्य | LCM | | बराबर टोली | विद्यार्थियों का बँटवारा | HCF | | सबसे छोटी संख्या | शेष वाले प्रश्न | LCM फिर समायोजन |
flowchart TD
A[LCM और HCF] --> B[अभाज्य गुणनखंड विधि]
A --> C[भाग विधि]
A --> D[शब्द प्रश्न]
B --> E[HCF: न्यूनतम घात का गुणनफल]
B --> F[LCM: अधिकतम घात का गुणनफल]
C --> G[शेष शून्य तक भाग देते रहें]
D --> H[समय-मिलन: LCM]
D --> I[बाँटना-मापना: HCF]
LCM और HCF संख्या पद्धति के वे आधारभूत अवधारणाएँ हैं जिनका प्रयोग भिन्न, औसत, अनुपात तथा समय-कार्य जैसे अनेक विषयों में होता है। रेलवे ग्रुप D परीक्षा में इन पर आधारित शब्द प्रश्न अधिकतर अंक दिलाने वाले होते हैं। विधियों का नियमित अभ्यास तथा शब्द प्रश्नों में LCM-HCF के सही चयन की समझ से उम्मीदवार इन प्रश्नों में सरलता से सफलता प्राप्त कर सकते हैं।