2.2 प्रतिशत

विषय: रेलवे NTPC – गणित (अंकगणित) अध्याय: 2.2 प्रतिशत विषय-वस्तु: प्रतिशत, भिन्न-प्रतिशत रूपांतरण

1. परिचय

प्रतिशत शब्द की उत्पत्ति लैटिन भाषा के शब्द 'प्रति सेंटम' से हुई है, जिसका अर्थ है 'प्रति सौ'। प्रतिशत का चिह्न (%) सौ में से किसी संख्या को व्यक्त करने का एक तरीका है। रेलवे NTPC परीक्षा में प्रतिशत अत्यंत महत्वपूर्ण विषय है, क्योंकि लाभ-हानि, ब्याज, औसत, संख्या पद्धति और आँकड़ा विश्लेषण जैसे अनेक अध्यायों में प्रतिशत की अवधारणा का प्रयोग होता है। प्रत्येक परीक्षा में प्रतिशत से 3 से 4 प्रश्न निश्चित रूप से पूछे जाते हैं।

इस अध्याय में हम प्रतिशत की मूल अवधारणा, भिन्न और प्रतिशत के पारस्परिक रूपांतरण, प्रतिशत वृद्धि और कमी, परीक्षा में अंकों की गणना, चुनाव परिणाम, क्रमागत प्रतिशत परिवर्तन और संख्या में वृद्धि-कमी से संबंधित प्रश्नों का विस्तृत अध्ययन करेंगे। साथ ही उन युक्तियों पर भी ध्यान देंगे जो प्रश्नों को तीव्रता से हल करने में सहायक होती हैं।

NTPC की परीक्षा में प्रतिशत के प्रश्न सरल से लेकर मध्यम स्तर तक आते हैं। परीक्षा में समय बचाने के लिए सामान्य भिन्नों का प्रतिशत रूप में रूपांतरण कंठस्थ करना आवश्यक है। यह अध्याय परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत स्कोरिंग है, क्योंकि सही दृष्टिकोण से प्रश्नों को कुछ ही सेकंड में हल किया जा सकता है। आइए, हम प्रतिशत की अवधारणा को गहराई से समझें।

2. प्रतिशत की मूल अवधारणा

प्रतिशत का अर्थ है प्रति सौ। किसी संख्या का x प्रतिशत लेने का अर्थ है उस संख्या का x/100 भाग लेना। गणितीय रूप में, संख्या का x% = संख्या × (x/100) होता है। प्रतिशत को भिन्न, दशमलव और अनुपात के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 25% = 25/100 = 1/4 = 0.25।

प्रतिशत के महत्वपूर्ण सूत्र: - प्रतिशत = (अभीष्ट मान / कुल मान) × 100 - कुल मान का x% = (कुल मान × x) / 100 - यदि किसी संख्या में x% की वृद्धि हो, तो नई संख्या = मूल संख्या × (100 + x)/100 - यदि किसी संख्या में x% की कमी हो, तो नई संख्या = मूल संख्या × (100 - x)/100 - भिन्न को प्रतिशत में बदलने के लिए उसे 100 से गुणा करें, जैसे 3/5 = (3/5) × 100 = 60% - प्रतिशत को भिन्न में बदलने के लिए 100 से भाग दें, जैसे 37.5% = 37.5/100 = 3/8

भिन्न-प्रतिशत रूपांतरण तालिका (कंठस्थ करने योग्य): - 1/2 = 50%, 1/3 = 33.33%, 1/4 = 25%, 1/5 = 20% - 1/6 = 16.67%, 1/7 = 14.28%, 1/8 = 12.5%, 1/9 = 11.11% - 1/10 = 10%, 1/11 = 9.09%, 1/12 = 8.33%, 1/15 = 6.67% - 1/16 = 6.25%, 1/20 = 5%, 1/25 = 4%, 1/50 = 2%

हल किए गए उदाहरण: 1. 250 का 40% क्या है? हल: 250 का 40% = 250 × 40/100 = 25 × 4 = 100।

1. एक परीक्षा में 500 में से 325 अंक प्राप्त हुए। कितने प्रतिशत अंक प्राप्त हुए? हल: प्रतिशत = (325/500) × 100 = 65%।

2. किसी संख्या का 20% , 36 है। संख्या ज्ञात कीजिए। हल: माना संख्या x है। x का 20% = 36, अर्थात x × 20/100 = 36, अतः x = 36 × 5 = 180।

3. किसी परीक्षा में उत्तीर्ण होने के लिए 35% अंक आवश्यक हैं। एक छात्र को 152 अंक मिले और वह 48 अंकों से अनुत्तीर्ण रहा। कुल अंक ज्ञात कीजिए। हल: आवश्यक अंक = 152 + 48 = 200। अतः कुल अंक का 35% = 200, कुल अंक = 200 × 100/35 = 571.43।

3. प्रतिशत वृद्धि और कमी

प्रतिशत वृद्धि और कमी जीवन के साथ-साथ परीक्षा में भी अत्यंत उपयोगी अवधारणा है। जब किसी मान में वृद्धि या कमी होती है, तो उसे प्रतिशत में व्यक्त किया जा सकता है। प्रतिशत वृद्धि हमेशा मूल मान के सापेक्ष गणना की जाती है, न कि नए मान के सापेक्ष।

प्रमुख सूत्र: - प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि / मूल मान) × 100 - प्रतिशत कमी = (कमी / मूल मान) × 100 - नया मान = मूल मान × (100 + वृद्धि%)/100 - नया मान = मूल मान × (100 - कमी%)/100 - यदि कोई संख्या पहले x% बढ़ाई जाए और फिर y% घटाई जाए, तो कुल प्रतिशत परिवर्तन = (x - y - xy/100)% - यदि कोई संख्या पहले x% घटाई जाए और फिर y% बढ़ाई जाए, तो कुल प्रतिशत परिवर्तन = (y - x - xy/100)% - क्रमागत x% और y% वृद्धि का कुल प्रभाव = (x + y + xy/100)% - किसी संख्या में x% वृद्धि के पश्चात पुनः x% कमी करने पर कुल हानि = (x²/100)%

महत्वपूर्ण तथ्य: - किसी संख्या में x% वृद्धि के बाद मूल संख्या प्राप्त करने के लिए कमी करने का प्रतिशत = (x/(100+x)) × 100 - किसी संख्या में x% कमी के बाद मूल संख्या प्राप्त करने के लिए वृद्धि करने का प्रतिशत = (x/(100-x)) × 100 - क्रमागत प्रतिशत परिवर्तन में जोड़ने या घटाने की बजाय गुणन की अवधारणा उपयोगी होती है। - 20% वृद्धि के बाद 20% कमी करने पर हमेशा नेट हानि होती है, कभी लाभ नहीं।

हल किए गए उदाहरण: 1. किसी संख्या में 25% की वृद्धि करने पर 500 प्राप्त होता है। मूल संख्या ज्ञात कीजिए। हल: माना मूल संख्या x है। x × 125/100 = 500, अतः x = 500 × 100/125 = 400।

1. एक वस्तु का मूल्य 800 रुपये से बढ़कर 1000 रुपये हो गया। प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए। हल: वृद्धि = 200 रुपये। प्रतिशत वृद्धि = (200/800) × 100 = 25%।

2. किसी संख्या को पहले 10% बढ़ाया जाता है और फिर 10% घटाया जाता है। नेट प्रतिशत परिवर्तन क्या होगा? हल: सूत्र (x - y - xy/100) के अनुसार = 10 - 10 - 100/100 = -1%। अर्थात नेट 1% की कमी होगी।

3. किसी वस्तु के मूल्य में 20% की वृद्धि के पश्चात पुनः 20% की वृद्धि होती है। कुल प्रतिशत वृद्धि क्या है? हल: क्रमागत वृद्धि सूत्र = 20 + 20 + (20×20)/100 = 40 + 4 = 44%।

4. परीक्षा, चुनाव और जनसंख्या से संबंधित प्रतिशत

प्रतिशत के प्रश्न प्रायः परीक्षा में अंकों की गणना, चुनाव में मतों की गणना और जनसंख्या या मूल्यों में वृद्धि-कमी पर आधारित होते हैं। इन प्रश्नों में संख्या पद्धति का मिश्रित ज्ञान आवश्यक होता है। प्रश्नों में दिए गए प्रतिशत को भिन्न में परिवर्तित करके गणना को अत्यंत सरल बनाया जा सकता है।

महत्वपूर्ण सूत्र और तथ्य: - उत्तीर्ण प्रतिशत = (उत्तीर्ण छात्र / कुल छात्र) × 100 - यदि उत्तीर्ण होने के लिए P% अंक चाहिए और छात्र को A अंक मिले तथा वह B अंकों से अनुत्तीर्ण रहा, तो कुल अंक = (A + B) × 100 / P - चुनाव में वैध मतों की गणना करते समय अमान्य मतों को कुल मतों से घटाना आवश्यक है। - यदि दो उम्मीदवारों के बीच हुए चुनाव में विजेता को x% मत मिले और वह y मतों से जीता, तो कुल मत = y × 100 / (x - (100-x)) = y × 100 / (2x - 100) - जनसंख्या में निश्चित दर से वार्षिक वृद्धि होने पर n वर्ष बाद जनसंख्या = वर्तमान जनसंख्या × (1 + r/100)ⁿ - जनसंख्या में निश्चित दर से वार्षिक कमी होने पर n वर्ष बाद जनसंख्या = वर्तमान जनसंख्या × (1 - r/100)ⁿ

हल किए गए उदाहरण: 1. एक चुनाव में दो उम्मीदवार थे। विजेता को 55% मत मिले और वह 4000 मतों से जीता। कुल मतों की संख्या ज्ञात कीजिए। हल: पराजित को 45% मत मिले। विजेता का अंतर = 55 - 45 = 10% = 4000, अतः कुल मत = 4000 × 100/10 = 40000।

1. किसी परीक्षा में उत्तीर्ण होने के लिए 40% अंक आवश्यक हैं। रमेश को 220 अंक मिले और वह 20 अंकों से अनुत्तीर्ण रहा। कुल अंक क्या है? हल: आवश्यक अंक = 220 + 20 = 240। कुल अंक का 40% = 240, कुल अंक = 240 × 100/40 = 600।

2. एक गाँव की जनसंख्या 10000 है। यदि जनसंख्या में 10% वार्षिक वृद्धि होती है, तो 2 वर्ष बाद जनसंख्या क्या होगी? हल: जनसंख्या = 10000 × (110/100)² = 10000 × 1.21 = 12100।

3. किसी परीक्षा में 60% छात्र अंग्रेजी में, 70% गणित में तथा 20% छात्र दोनों विषयों में उत्तीर्ण हुए। कुल कितने प्रतिशत छात्र कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण हुए? हल: कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण = 60 + 70 - 20 = 110%। यह संभव नहीं है, इसलिए प्रश्न को देखा जाए तो उत्तर कभी भी 100 से अधिक नहीं हो सकता। सही उत्तर 100% ही संभव है, क्योंकि सेट सिद्धांत में यदि योग 100 से अधिक आता है तो गणना में त्रुटि हुई है। यहाँ सही दृष्टिकोण यह है कि कम से कम एक में उत्तीर्ण = 100%।

5. त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएँ

तालिका 1

भिन्न	प्रतिशत	भिन्न	प्रतिशत
1/2	50%	1/6	16.67%
1/3	33.33%	1/7	14.28%
1/4	25%	1/8	12.5%
1/5	20%	1/9	11.11%
1/10	10%	1/12	8.33%

तालिका 2

स्थिति	सूत्र
प्रतिशत वृद्धि	(वृद्धि ÷ मूल मान) × 100
प्रतिशत कमी	(कमी ÷ मूल मान) × 100
क्रमागत x% और y% वृद्धि	x + y + (xy/100)
x% वृद्धि फिर x% कमी	नेट -x²/100 प्रतिशत
x% वृद्धि के बाद मूल प्राप्त करने हेतु कमी	(x/(100+x)) × 100
प्रतिशत को भिन्न में	प्रतिशत ÷ 100

6. माइंड मैप

flowchart TD
    A[प्रतिशत] --> B[मूल अवधारणा]
    A --> C[वृद्धि और कमी]
    A --> D[परीक्षा और चुनाव]
    B --> B1[प्रतिशत = मान ÷ कुल × 100]
    B --> B2[भिन्न-प्रतिशत रूपांतरण]
    C --> C1[नेट परिवर्तन सूत्र]
    C --> C2[क्रमागत प्रतिशत परिवर्तन]
    D --> D1[उत्तीर्ण अंक गणना]
    D --> D2[मतों की गणना]
    D --> D3[जनसंख्या वृद्धि]
    B2 --> E[कंठस्थ तालिका उपयोगी]
    C1 --> F[लाभ-हानि में उपयोग]
    D2 --> G[चुनाव विश्लेषण]
    G --> H[अमान्य मत घटाना]

7. महत्वपूर्ण आरेख (SVG)

8. सामान्य गलतियाँ

1. प्रतिशत की गणना गलत आधार पर करना: प्रतिशत वृद्धि या कमी की गणना हमेशा मूल मान पर की जाती है। नए मान पर गणना करने से उत्तर गलत आता है, यह सबसे सामान्य भूल है।
2. भिन्न-प्रतिशत रूपांतरण में त्रुटि: 1/3 को 30% और 1/7 को 15% मान लेना सामान्य भूल है। सही मान क्रमशः 33.33% और 14.28% होते हैं। सटीक भिन्न तालिका कंठस्थ करें।
3. क्रमागत प्रतिशत परिवर्तन में सीधा जोड़ना: x% और y% के क्रमागत परिवर्तन को केवल x+y मान लेना गलत है। सही सूत्र में xy/100 पद भी जुड़ता है, विशेषकर वृद्धि के मामले में।
4. चुनाव प्रश्नों में अमान्य मतों की अनदेखी: यदि प्रश्न में अमान्य मतों की संख्या दी गई हो, तो उन्हें कुल मतों से घटाने के बाद ही प्रतिशत की गणना करनी चाहिए।
5. उत्तीर्ण अंकों की गणना में कुल अंक की भूल: उत्तीर्ण प्रश्नों में कुल अंक ज्ञात करने के लिए आवश्यक अंकों को उत्तीर्ण प्रतिशत से भाग देना चाहिए, न कि गुणा करना।
6. प्रतिशत को 100 से गुणा करने की जगह भाग देना: भिन्न को प्रतिशत में बदलते समय 100 से गुणा करना चाहिए। जो उम्मीदवार भाग देते हैं, उनका उत्तर हमेशा गलत निकलता है।

9. परीक्षा युक्तियाँ

1. सामान्य भिन्नों की प्रतिशत तालिका कंठस्थ करें: 1/2 से 1/20 तक की भिन्न-प्रतिशत तालिका याद होने से कई प्रश्न मौखिक हल हो जाते हैं और समय की काफी बचत होती है।
2. प्रतिशत को भिन्न में बदलकर गणना करें: जैसे 25% को 1/4 और 20% को 1/5 मानकर गुणा करने से गणना सरल हो जाती है, जैसे 240 का 25% = 240/4 = 60।
3. नेट परिवर्तन सूत्र सीधे लागू करें: क्रमागत वृद्धि-कमी वाले प्रश्नों में सूत्र x ± y ∓ xy/100 का सीधे प्रयोग करें, इससे गणना के समय में काफी कमी आती है।
4. विकल्पों से उत्तर की जाँच करें: कई बार दिए गए विकल्पों से अनुमान लगाकर सही उत्तर तक पहुँचा जा सकता है, विशेषकर जब मान गोल हों।
5. जनसंख्या प्रश्नों में गुणनखंड विधि अपनाएँ: जनसंख्या वृद्धि के प्रश्नों में (110/100)² जैसे गुणनखंडों को पहले सरल करके गणना करें, ताकि बड़ी संख्याओं में त्रुटि न हो।
6. दशमलव प्रतिशत पर विशेष ध्यान दें: 12.5%, 37.5%, 62.5% जैसे दशमलव प्रतिशतों को भिन्न रूप में बदलकर हल करने का अभ्यास करें, क्योंकि ये NTPC में बार-बार पूछे जाते हैं।

10. निष्कर्ष

प्रतिशत रेलवे NTPC के अंकगणित खंड का मूल विषय है, जिसकी जानकारी अन्य सभी अध्यायों के लिए अनिवार्य है। भिन्न-प्रतिशत रूपांतरण की तालिका कंठस्थ करना, मूल मान पर गणना का नियम समझना और क्रमागत परिवर्तन के सूत्रों का अभ्यास करना ही इस अध्याय में सफलता की कुंजी है। नियमित अभ्यास से प्रतिशत के प्रश्न परीक्षा में सबसे तीव्र गति से हल किए जा सकते हैं।