विषय: रेलवे NTPC – गणित (त्रिकोणमिति और सांख्यिकी) अध्याय: 5.8 सांख्यिकी आधारित प्रश्न विषय-वस्तु: सांख्यिकी प्रश्न अभ्यास
यह अध्याय पूर्व अध्यायों (माध्य, माध्यिका, बहुलक, तालिका, ग्राफ, आँकड़ा व्याख्या) में सीखी गई अवधारणाओं का एकीकृत अभ्यास प्रस्तुत करता है। रेलवे NTPC की परीक्षा में सांख्यिकी से प्रतिवर्ष 3 से 6 प्रश्न पूछे जाते हैं, जिनमें माध्य, माध्यिका, बहुलक, औसत और आँकड़ा व्याख्या का संयोजन होता है। इस अध्याय का उद्देश्य विभिन्न प्रकार के प्रश्नों के माध्यम से सूत्रों के प्रयोग का अभ्यास कराना है, ताकि परीक्षा में किसी भी प्रकार का प्रश्न आने पर तुरंत सही विधि चुन सकें।
सांख्यिकी के प्रश्नों को हल करने की सबसे बड़ी चुनौती सही सूत्र का चयन है। प्रश्न में 'औसत' शब्द आने पर माध्य का सूत्र, 'बीच का मान' या क्रमबद्ध मान आने पर माध्यिका का सूत्र और 'सबसे अधिक बार' या 'लोकप्रिय' आने पर बहुलक का सूत्र उपयोग होता है। इन संकेत शब्दों को पहचानने की क्षमता सफलता की पहली सीढ़ी है। इसके साथ ही बारंबारता तालिका, संचयी बारंबारता और आँकड़ा व्याख्या की गणनाओं का द्रुत अभ्यास आवश्यक है।
इस अध्याय में हम पहले प्रत्येक प्रकार के प्रश्न के संकेत शब्द, सूत्र और उदाहरण को संक्षेप में दोहराएँगे, फिर मिश्रित अभ्यास प्रश्नों को चरणबद्ध रूप से हल करेंगे। अंत में हम एक मिनी टेस्ट के माध्यम से समय प्रबंधन और सटीकता का अभ्यास करेंगे। यह अध्याय पूरी सांख्यिकी की पुनरावृत्ति के रूप में भी कार्य करेगा, जिससे परीक्षा से ठीक पहले त्वरित समीक्षा संभव होगी।
उदाहरण 1: एक कक्षा में 5 विद्यार्थियों के अंक 40, 50, 60, 70, 80 हैं। माध्य, माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल: - चरण 1: माध्य = (40+50+60+70+80)/5 = 300/5 = 60 - चरण 2: माध्यिका (क्रमबद्ध, n=5 विषम) = तीसरा पद = 60 - चरण 3: बहुलक – सभी मान एक बार आए हैं, अतः कोई बहुलक नहीं - उत्तर: माध्य 60, माध्यिका 60, बहुलक नहीं
उदाहरण 2: 20 संख्याओं का माध्य 25 है। यदि प्रत्येक संख्या में 5 जोड़ दिया जाए, तो नया माध्य क्या होगा?
हल: - चरण 1: माध्य के गुण के अनुसार प्रत्येक में समान जोड़ने पर माध्य में भी उतना ही जुड़ता है - चरण 2: नया माध्य = 25 + 5 = 30 - उत्तर: 30
उदाहरण 3: बारंबारता तालिका – मान 2 (f=3), 4 (f=5), 6 (f=7), 8 (f=5) का बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल: - चरण 1: सबसे बड़ी बारंबारता = 7 - चरण 2: यह बारंबारता मान 6 की है - उत्तर: बहुलक = 6
उदाहरण 4: 10 संख्याओं का माध्य 30 है। एक संख्या 25 के स्थान पर गलती से 35 लिखी गई। सही माध्य क्या है?
हल: - चरण 1: गलत योग = 30 × 10 = 300 - चरण 2: सही योग = 300 − 35 + 25 = 290 - चरण 3: सही माध्य = 290 ÷ 10 = 29 - उत्तर: 29
उदाहरण 5: एक क्रिकेटर का 10 पारियों में औसत 45 है। अगली पारी में 55 रन बनाने पर नया औसत क्या है?
हल: - चरण 1: कुल रन = 45 × 10 = 450 - चरण 2: नया कुल = 450 + 55 = 505 - चरण 3: नया औसत = 505 ÷ 11 = 45.9 - उत्तर: 45.9
उदाहरण 6: यदि माध्य = 30 और माध्यिका = 32 हो, तो बहुलक ज्ञात कीजिए।
हल: - चरण 1: बहुलक = 3 × माध्यिका − 2 × माध्य - चरण 2: बहुलक = 3 × 32 − 2 × 30 = 96 − 60 = 36 - उत्तर: 36
उदाहरण 7: बारंबारता तालिका – मान 1 (f=2), 2 (f=3), 3 (f=4), 4 (f=3), 5 (f=2) की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल: - चरण 1: N = 2+3+4+3+2 = 14, N/2 = 7 - चरण 2: संचयी बारंबारता – 1: 2, 2: 5, 3: 9 - चरण 3: 7वाँ पद मान 3 में आता है, चूंकि N सम है – 7वाँ पद 3 और 8वाँ पद 3 - चरण 4: माध्यिका = (3+3)/2 = 3 - उत्तर: 3
उदाहरण 8: एक व्यक्ति के पाँच दिनों का औसत खर्च 300 रुपये है। यदि पहले दो दिनों का खर्च 250 और 350 रुपये है, तो शेष तीन दिनों का कुल खर्च क्या है?
हल: - चरण 1: कुल खर्च = 300 × 5 = 1500 - चरण 2: पहले दो दिनों का योग = 250 + 350 = 600 - चरण 3: शेष तीन दिनों का कुल = 1500 − 600 = 900 - उत्तर: 900 रुपये
| प्रश्न में शब्द | उपयोगी सूत्र |
|---|---|
| औसत / माध्य | योग ÷ संख्या |
| बीच का मान | माध्यिका (क्रमबद्ध) |
| सबसे अधिक बार | बहुलक |
| कुल | माध्य × संख्या |
| सुधार | नया योग = पुराना − गलत + सही |
| माध्य + माध्यिका दिया हो | बहुलक = 3माध्यिका − 2माध्य |
| माप | आवश्यकता | उदाहरण स्थिति |
|---|---|---|
| माध्य | सभी मानों का औसत | अंकों का औसत |
| माध्यिका | चरम मानों से प्रभावित न हो | वेतन का मध्य मान |
| बहुलक | सबसे लोकप्रिय मान | सबसे अधिक बिकने वाला जूता |
| माध्यिका (सम n) | दो मध्य पदों का औसत | 10 संख्याएँ |
| बहुलक (द्विबहुलक) | दो मान समान बारंबारता | दो उत्तर |
flowchart TD
A[5.8 सांख्यिकी आधारित प्रश्न] --> B[संकेत शब्द पहचान]
B --> C[औसत = माध्य]
B --> D[बीच का = माध्यिका]
B --> E[अधिक बार = बहुलक]
A --> F[माध्य सूत्र]
F --> G[योग/संख्या]
F --> H[कुल = माध्य x संख्या]
A --> I[माध्यिका सूत्र]
I --> J[n विषम - बीच का पद]
I --> K[n सम - दो पदों का औसत]
A --> L[बहुलक सूत्र]
L --> M[सबसे बड़ी बारंबारता]
A --> N[गलत मान सुधार]
N --> O[पुराना - गलत + सही]
A --> P[अनुभवजन्य संबंध]
P --> Q[बहुलक = 3माध्यिका - 2माध्य]
A --> R[अभ्यास]
R --> S[मिश्रित प्रश्न]
R --> T[मिनी टेस्ट]
यह अध्याय संपूर्ण सांख्यिकी का व्यावहारिक अभ्यास प्रस्तुत करता है, जिसमें माध्य, माध्यिका, बहुलक, औसत और आँकड़ा व्याख्या के प्रश्नों को हल करने की विधियों का समेकन किया गया है। संकेत शब्दों से सही सूत्र का चयन, चरणबद्ध गणना और गलतियों से बचाव इस अध्याय की सफलता की कुंजी है। नियमित अभ्यास, तालिकाओं की पुनरावृत्ति और समय प्रबंधन के साथ आप NTPC परीक्षा में सांख्यिकी के 3 से 6 प्रश्नों में पूर्ण अंक प्राप्त कर सकते हैं।