विषय: रेलवे NTPC – तर्कशक्ति (समानता और वर्गीकरण) अध्याय: 6.5 संख्या वर्गीकरण विषय-वस्तु: संख्याओं का वर्गीकरण
संख्या वर्गीकरण तर्कशक्ति का वह भाग है जिसमें चार संख्याएं दी जाती हैं और उनमें से तीन किसी सामान्य नियम से मेल खाती हैं, परंतु एक संख्या उस नियम को तोड़ती है। इस विषम संख्या को पहचानना होता है। रेलवे NTPC परीक्षा में प्रश्न "निम्नलिखित में से विषम संख्या चुनिए: 13, 17, 19, 22" के रूप में आता है। यहां 13, 17 और 19 अभाज्य संख्याएं हैं, जबकि 22 समगत संख्या है, अतः 22 विषम है।
संख्या वर्गीकरण में मुख्य रूप से अभाज्य और समगत संख्या, सम और विषम संख्या, वर्ग और घन संख्या, गुणज, अंकों का योग, विभाज्यता और संख्या के अंकों की स्थिति जैसे आधारों पर प्रश्न बनते हैं। कभी-कभी एक ही समूह में दो आधार संभव दिखते हैं, तब विकल्पों की सहायता से वही आधार चुनना चाहिए जो तीन संख्याओं को जोड़ता हो और एक को अलग करता हो।
इस अध्याय में हम संख्या वर्गीकरण के सभी आधारों को विस्तार से समझेंगे, विषम संख्या खोजने की क्रमबद्ध विधियों पर चर्चा करेंगे और हल किए गए उदाहरणों से अभ्यास करेंगे। त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएं, माइंड मैप, आरेख, सामान्य गलतियां और परीक्षा युक्तियां भी इस अध्याय का हिस्सा हैं। इस विषय में अभाज्य संख्याओं और वर्ग-घन की तालिका का स्मरण विशेष रूप से सहायक है।
संख्या वर्गीकरण के प्रश्नों में निम्नलिखित आधारों पर विषम संख्या खोजी जाती है:
महत्वपूर्ण तथ्य:
विषम संख्या खोजने की क्रमबद्ध विधियां निम्नलिखित हैं:
विधि 1: सामान्य नियम की तलाश
सबसे पहले तीन संख्याओं में दिखने वाले सामान्य नियम को खोजें। यदि तीन संख्याएं अभाज्य हैं और एक समगत है, या तीन वर्ग हैं और एक गैर-वर्ग है, तो वह एक ही विषम संख्या है। नियम को सबसे पहले अभाज्य, सम-विषम और वर्ग-घन के आधार पर जांचें।
विधि 2: अंतर की जांच
संख्या वर्गीकरण में कभी-कभी संख्याओं के बीच निश्चित अंतर होता है। जैसे 11, 14, 17, 20 में अंतर 3 है, परंतु 21 आदि आने पर नियम टूटता है। अंतर के आधार पर भी विषम संख्या निकाली जाती है।
विधि 3: गुणज की जांच
चार संख्याओं में से तीन यदि किसी संख्या के गुणज हैं तो चौथी संख्या विषम होती है। जैसे 12, 18, 24, 29 में 12, 18, 24 तीन के गुणज हैं, जबकि 29 नहीं है।
विधि 4: अंकों के योग की जांच
कुछ प्रश्नों में संख्याओं के अंकों के योग का नियम लागू होता है। जैसे 25, 34, 43, 52 में प्रत्येक के अंकों का योग 7 है। यदि कोई संख्या इस नियम को तोड़ती है तो वही उत्तर है।
विधि 5: वर्ग और घन की जांच
यदि तीन संख्याएं वर्ग या घन हों और एक न हो तो वही विषम है। जैसे 81, 100, 121, 133 में पहली तीन वर्ग हैं और 133 नहीं है।
हल किए गए उदाहरण:
उदाहरण 1: 121, 144, 169, 170 में विषम संख्या चुनिए। हल: 121, 144 और 169 क्रमशः 11, 12 और 13 के वर्ग हैं। 170 वर्ग संख्या नहीं है। अतः सही उत्तर 170 है।
उदाहरण 2: 22, 33, 44, 55 में विषम संख्या चुनिए। हल: 22, 33, 44, 55 सभी 11 के गुणज हैं। यहां कोई विषम नहीं है, इसलिए ऐसे प्रश्न में अंकों का संबंध देखें। चूंकि सभी 11 के गुणज हैं, इसलिए यह प्रश्न नियम से अलग होगा।
उदाहरण 3: 16, 25, 36, 42 में विषम संख्या चुनिए। हल: 16, 25, 36 क्रमशः 4, 5 और 6 के वर्ग हैं। 42 वर्ग संख्या नहीं है। अतः सही उत्तर 42 है।
उदाहरण 4: 12, 18, 30, 42 में विषम संख्या चुनिए। हल: 12, 18, 30, 42 चारों 6 से विभाज्य हैं। अतः यह समूह सामान्य नियम से नहीं टूटता। ऐसे मामलों में संख्या के अंकों के गुणनफल या अन्य गुण देखें। 12, 18, 30, 42 में 12 का अंक गुणनफल 2, 18 का 8, 30 का 0 और 42 का 8 है, अतः 30 विषम है क्योंकि शेष तीनों का अंक गुणनफल या तो सम है।
Hmm, that's getting complicated. Let me use cleaner examples in section 4. Let me rewrite:
उदाहरण 1: 121, 144, 169, 170 में विषम संख्या चुनिए। हल: 121, 144 और 169 क्रमशः 11, 12 और 13 के वर्ग हैं। 170 वर्ग संख्या नहीं है। अतः सही उत्तर 170 है।
उदाहरण 2: 5, 25, 125, 250 में विषम संख्या चुनिए। हल: 5, 25 और 125 क्रमशः 5 की पहली, दूसरी और तीसरी घात हैं। 250 इस श्रृंखला से अलग है। अतः सही उत्तर 250 है।
उदाहरण 3: 16, 36, 49, 55 में विषम संख्या चुनिए। हल: 16, 36, 49 वर्ग संख्याएं हैं (4, 6, 7 के वर्ग)। 55 वर्ग नहीं है। अतः सही उत्तर 55 है।
उदाहरण 4: 3, 5, 11, 15 में विषम संख्या चुनिए। हल: 3, 5, 11 अभाज्य संख्याएं हैं। 15 समगत संख्या है। अतः सही उत्तर 15 है।
उदाहरण 5: 21, 28, 35, 42 में विषम संख्या चुनिए। हल: 21, 28, 35, 42 चारों सात के गुणज हैं, इसलिए यह समूह एक समान है। ऐसे में अंकों का योग देखें - 2+1=3, 2+8=10, 3+5=8, 4+2=6। चूंकि 28 और 42 का योग सम है...
This is getting messy. Let me avoid such ambiguous sets in the notes and use clean examples where three share a clear rule.
उदाहरण 5: 12, 24, 36, 47 में विषम संख्या चुनिए। हल: 12, 24, 36 सभी 12 के गुणज हैं। 47 इस नियम को तोड़ता है। अतः सही उत्तर 47 है।
उदाहरण 6: 27, 64, 125, 216 में विषम संख्या चुनिए। हल: 27, 64, 125, 216 चारों घन हैं। ऐसे प्रश्न में अंकों का योग या अन्य गुण देखना चाहिए। 27 का योग 9, 64 का योग 10, 125 का योग 8, 216 का योग 9 है। अतः 216...
Hmm 27 (3³), 64 (4³), 125 (5³), 216 (6³) are ALL cubes. So no odd one. I need to make one not a cube. Let me redo example 6:
उदाहरण 6: 27, 64, 125, 130 में विषम संख्या चुनिए। हल: 27, 64, 125 क्रमशः 3, 4 और 5 के घन हैं। 130 घन नहीं है। अतः सही उत्तर 130 है।
OK good. Let me finalize section 4 with clean examples:
Good, I'll write section 4 with ~8 examples. But note: I already wrote the file content above. I need to fix the two messy examples (उदाहरण 2 and उदाहरण 5 in section 4, and the ambiguous ones). Let me rewrite the whole section 4 in the actual write. I'll write the file now with clean content.
Let me finalize the full chapter 5 md content now, with clean examples.<｜end▁of▁thinking｜>
<｜｜DSML｜｜tool_calls> <｜｜DSML｜｜invoke name="write"> <｜｜DSML｜｜parameter name="content" string="true"># 6.5 संख्या वर्गीकरण विषय: रेलवे NTPC – तर्कशक्ति (समानता और वर्गीकरण) अध्याय: 6.5 संख्या वर्गीकरण विषय-वस्तु: संख्याओं का वर्गीकरण
संख्या वर्गीकरण तर्कशक्ति का वह भाग है जिसमें चार संख्याएं दी जाती हैं और उनमें से तीन किसी सामान्य नियम से मेल खाती हैं, परंतु एक संख्या उस नियम को तोड़ती है। इस विषम संख्या को पहचानना होता है। रेलवे NTPC परीक्षा में प्रश्न "निम्नलिखित में से विषम संख्या चुनिए: 13, 17, 19, 22" के रूप में आता है। यहां 13, 17 और 19 अभाज्य संख्याएं हैं, जबकि 22 समगत संख्या है, अतः 22 विषम है।
संख्या वर्गीकरण में मुख्य रूप से अभाज्य और समगत संख्या, सम और विषम संख्या, वर्ग और घन संख्या, गुणज, अंकों का योग, विभाज्यता और संख्या के अंकों की स्थिति जैसे आधारों पर प्रश्न बनते हैं। कभी-कभी एक ही समूह में दो आधार संभव दिखते हैं, तब विकल्पों की सहायता से वही आधार चुनना चाहिए जो तीन संख्याओं को जोड़ता हो और एक को अलग करता हो।
इस अध्याय में हम संख्या वर्गीकरण के सभी आधारों को विस्तार से समझेंगे, विषम संख्या खोजने की क्रमबद्ध विधियों पर चर्चा करेंगे और हल किए गए उदाहरणों से अभ्यास करेंगे। त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएं, माइंड मैप, आरेख, सामान्य गलतियां और परीक्षा युक्तियां भी इस अध्याय का हिस्सा हैं। इस विषय में अभाज्य संख्याओं और वर्ग-घन की तालिका का स्मरण विशेष रूप से सहायक है।
संख्या वर्गीकरण के प्रश्नों में निम्नलिखित आधारों पर विषम संख्या खोजी जाती है:
महत्वपूर्ण तथ्य:
विषम संख्या खोजने की क्रमबद्ध विधियां निम्नलिखित हैं:
विधि 1: सामान्य नियम की तलाश
सबसे पहले तीन संख्याओं में दिखने वाले सामान्य नियम को खोजें। यदि तीन संख्याएं अभाज्य हैं और एक समगत है, या तीन वर्ग हैं और एक गैर-वर्ग है, तो वही विषम संख्या है। नियम को सबसे पहले अभाज्य, सम-विषम और वर्ग-घन के आधार पर जांचें।
विधि 2: अंतर की जांच
संख्या वर्गीकरण में कभी-कभी संख्याओं के बीच निश्चित अंतर होता है। जैसे 11, 14, 17, 20 में अंतर 3 है। यदि कोई संख्या इस अंतर के नियम को तोड़ती है तो वही विषम होती है।
विधि 3: गुणज की जांच
चार संख्याओं में से तीन यदि किसी संख्या के गुणज हैं तो चौथी संख्या विषम होती है। जैसे 12, 18, 24, 29 में 12, 18, 24 तीन के गुणज हैं, जबकि 29 नहीं है।
विधि 4: अंकों के योग की जांच
कुछ प्रश्नों में संख्याओं के अंकों के योग का नियम लागू होता है। जैसे 25, 34, 43, 52 में प्रत्येक के अंकों का योग 7 है। यदि कोई संख्या इस नियम को तोड़ती है तो वही उत्तर है।
विधि 5: वर्ग और घन की जांच
यदि तीन संख्याएं वर्ग या घन हों और एक न हो तो वही विषम है। जैसे 81, 100, 121, 133 में पहली तीन वर्ग हैं और 133 नहीं है।
हल किए गए उदाहरण:
उदाहरण 1: 121, 144, 169, 170 में विषम संख्या चुनिए। हल: 121, 144 और 169 क्रमशः 11, 12 और 13 के वर्ग हैं। 170 वर्ग संख्या नहीं है। अतः सही उत्तर 170 है।
उदाहरण 2: 5, 25, 125, 250 में विषम संख्या चुनिए। हल: 5, 25 और 125 क्रमशः 5 की पहली, दूसरी और तीसरी घात हैं। 250 इस श्रृंखला से अलग है। अतः सही उत्तर 250 है।
उदाहरण 3: 16, 36, 49, 55 में विषम संख्या चुनिए। हल: 16, 36, 49 वर्ग संख्याएं हैं, जो क्रमशः 4, 6 और 7 के वर्ग हैं। 55 वर्ग नहीं है। अतः सही उत्तर 55 है।
उदाहरण 4: 3, 5, 11, 15 में विषम संख्या चुनिए। हल: 3, 5, 11 अभाज्य संख्याएं हैं। 15 समगत संख्या है। अतः सही उत्तर 15 है।
उदाहरण 5: 12, 24, 36, 47 में विषम संख्या चुनिए। हल: 12, 24, 36 सभी 12 के गुणज हैं। 47 इस नियम को तोड़ता है। अतः सही उत्तर 47 है।
उदाहरण 6: 27, 64, 125, 130 में विषम संख्या चुनिए। हल: 27, 64, 125 क्रमशः 3, 4 और 5 के घन हैं। 130 घन संख्या नहीं है। अतः सही उत्तर 130 है।
उदाहरण 7: 2, 3, 5, 9 में विषम संख्या चुनिए। हल: 2, 3, 5 अभाज्य संख्याएं हैं। 9 समगत संख्या है। अतः सही उत्तर 9 है।
उदाहरण 8: 8, 27, 64, 81 में विषम संख्या चुनिए। हल: 8, 27, 64 क्रमशः 2, 3 और 4 के घन हैं। 81 एक घन नहीं, बल्कि वर्ग है। अतः सही उत्तर 81 है।
उदाहरण 9: 23, 29, 31, 39 में विषम संख्या चुनिए। हल: 23, 29, 31 अभाज्य संख्याएं हैं। 39 समगत संख्या है। अतः सही उत्तर 39 है।
उदाहरण 10: 10, 20, 30, 43 में विषम संख्या चुनिए। हल: 10, 20, 30 सभी 10 के गुणज हैं। 43 इस नियम को तोड़ती है। अतः सही उत्तर 43 है।
| सीमा | अभाज्य संख्याएं |
|---|---|
| 1-10 | 2, 3, 5, 7 |
| 11-20 | 11, 13, 17, 19 |
| 21-30 | 23, 29 |
| 31-40 | 31, 37 |
| 41-50 | 41, 43, 47 |
| संख्या | वर्ग | घन |
|---|---|---|
| 1-20 | 1, 4, 9, 16 | 1, 8 |
| 21-40 | 25, 36 | 27 |
| 41-60 | 49 | 64 |
| 61-100 | 64, 81, 100 | 125 |
| 101-150 | 121, 144 | 216 |
| 151-200 | 169, 196 | 343 |
flowchart TD
A[6.5 संख्या वर्गीकरण] --> B[अभाज्य समगत]
A --> C[सम विषम]
A --> D[वर्ग घन]
A --> E[गुणज]
A --> F[अंकों का योग]
A --> G[विभाज्यता]
B --> H[13 17 19]
C --> I[2 4 6 8]
D --> J[16 25 36]
E --> K[14 21 28]
F --> L[23 41 32]
G --> M[15 30 45]
संख्या वर्गीकरण में सही उत्तर तीन संख्याओं के सामान्य नियम को पहचानकर निकाला जाता है। अभाज्य, सम-विषम, वर्ग-घन, गुणज और अंकों के योग के आधारों की पकड़ इस विषय में पूर्णता लाती है। रेलवे NTPC में संख्या वर्गीकरण के प्रश्न सीधे और स्कोरिंग होते हैं, जिन्हें तालिकाओं के स्मरण और अभ्यास के द्वारा निश्चित रूप से हल किया जा सकता है।