विषय: रेलवे NTPC – तर्कशक्ति (श्रृंखला) अध्याय: 7.1 संख्या श्रृंखला विषय-वस्तु: संख्यात्मक पैटर्न
संख्या श्रृंखला तर्कशक्ति के सबसे महत्वपूर्ण अध्यायों में से एक है। रेलवे एनटीपीसी परीक्षा में प्रत्येक शिफ्ट में संख्या श्रृंखला से निश्चित रूप से 2 से 4 प्रश्न पूछे जाते हैं। इसमें संख्याओं का एक क्रम दिया जाता है और अभ्यर्थी को उस क्रम में छिपे गणितीय पैटर्न को पहचानकर अगली संख्या या लुप्त संख्या ज्ञात करनी होती है। यह अध्याय न केवल परीक्षा की दृष्टि से बल्कि समग्र तार्किक सोच विकसित करने के लिए भी अत्यंत उपयोगी है।
संख्या श्रृंखला में सबसे महत्वपूर्ण कौशल पैटर्न की पहचान है। प्रत्येक श्रृंखला में क्रमागत पदों के बीच कोई न कोई निश्चित संबंध होता है, जो योग, व्यवकलन, गुणन, भाग, वर्ग, घन या इनके संयोजन पर आधारित हो सकता है। जो अभ्यर्थी इस संबंध को शीघ्रता से पहचान लेता है, वह प्रश्न को मात्र 20 से 30 सेकंड में हल कर देता है। नियमित अभ्यास से पैटर्न पहचानने की यह क्षमता तेजी से विकसित होती है।
इस अध्याय में हम संख्या श्रृंखला को हल करने की मुख्य विधियों का अध्ययन करेंगे, जैसे अंतर विधि, गुणन-भाग विधि, वर्ग-घन विधि और मिश्रित पैटर्न विधि। प्रत्येक विधि को चरणबद्ध हल सहित उदाहरणों द्वारा समझाया जाएगा, जिससे अभ्यर्थी को परीक्षा में किसी भी प्रकार की संख्या श्रृंखला को हल करने में आसानी होगी।
अंतर विधि संख्या श्रृंखला को हल करने की सबसे सरल और सर्वाधिक प्रयोग की जाने वाली विधि है। इस विधि में क्रमागत पदों के बीच के अंतर की गणना की जाती है और फिर उन अंतरों में स्वयं एक पैटर्न ढूँढा जाता है। यदि अंतरों के बीच का अंतर भी निश्चित हो, तो हम उसे द्वितीय अंतर कहते हैं। यह विधि विशेष रूप से तब कारगर होती है जब श्रृंखला में संख्याएँ धीरे-धीरे बढ़ती या घटती हैं।
अंतर विधि की मुख्य विशेषताएँ:
उदाहरण 1: श्रृंखला 7, 12, 17, 22, 27, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: क्रमागत पदों के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं। 12 - 7 = 5, 17 - 12 = 5, 22 - 17 = 5, 27 - 22 = 5। प्रत्येक अंतर 5 है, अतः यह एक समान्तर श्रृंखला है। अगला पद = 27 + 5 = 32। उत्तर: 32
उदाहरण 2: श्रृंखला 3, 6, 11, 18, 27, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: क्रमागत पदों के बीच अंतर: 6 - 3 = 3, 11 - 6 = 5, 18 - 11 = 7, 27 - 18 = 9। अंतरों का क्रम 3, 5, 7, 9 है, जिसमें प्रत्येक बार 2 जुड़ रहा है। अतः अगला अंतर 9 + 2 = 11 होगा। अगला पद = 27 + 11 = 38। उत्तर: 38
उदाहरण 3: श्रृंखला 95, 87, 78, 68, 57, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: क्रमागत पदों के बीच अंतर: 87 - 95 = -8, 78 - 87 = -9, 68 - 78 = -10, 57 - 68 = -11। अंतर -8, -9, -10, -11 है, अर्थात प्रत्येक बार अंतर 1 अधिक घट रहा है। अगला अंतर -12 होगा। अतः अगला पद = 57 - 12 = 45। उत्तर: 45
कई श्रृंखलाओं में पदों के बीच योग-व्यवकलन नहीं, बल्कि गुणन या भाग का संबंध होता है। ऐसी श्रृंखलाओं में प्रत्येक पद को एक निश्चित संख्या से गुणा या भाग करके अगला पद प्राप्त किया जाता है। कभी-कभी गुणक (multiplier) स्वयं एक निश्चित क्रम में बढ़ता या घटता भी है। यह विधि तब लागू होती है जब संख्याओं में तेजी से वृद्धि या ह्रास दिखाई दे।
गुणन-भाग विधि की मुख्य बातें:
उदाहरण 4: श्रृंखला 5, 10, 20, 40, 80, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: क्रमागत पदों का अनुपात देखें: 10/5 = 2, 20/10 = 2, 40/20 = 2, 80/40 = 2। प्रत्येक पद पिछले पद का दोगुना है। अतः अगला पद = 80 × 2 = 160। उत्तर: 160
उदाहरण 5: श्रृंखला 2, 6, 18, 54, 162, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: अनुपात ज्ञात करें: 6/2 = 3, 18/6 = 3, 54/18 = 3, 162/54 = 3। प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है। अतः अगला पद = 162 × 3 = 486। उत्तर: 486
उदाहरण 6: श्रृंखला 1, 2, 6, 24, 120, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: गुणक क्रम देखें: 2/1 = 2, 6/2 = 3, 24/6 = 4, 120/24 = 5। यहाँ क्रमशः 2, 3, 4, 5 से गुणा हो रहा है। अतः अगले पद के लिए 6 से गुणा होगा। अगला पद = 120 × 6 = 720। उत्तर: 720
वर्ग और घन श्रृंखला में पद किसी प्राकृतिक संख्या के वर्ग या घन होते हैं। ऐसी श्रृंखलाओं में संख्याओं को पहचानना आवश्यक है, जैसे 1, 4, 9, 16, 25 वर्गों की श्रृंखला है। कभी-कभी श्रृंखला में वर्ग या घन के साथ योग या व्यवकलन भी जुड़ा होता है, जैसे n² + 1, n³ - 1 आदि। मिश्रित पैटर्न में एक से अधिक संक्रियाएँ एक साथ प्रयुक्त होती हैं।
वर्ग-घन श्रृंखला की पहचान के संकेत:
उदाहरण 7: श्रृंखला 1, 4, 9, 16, 25, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: ये क्रमशः 1², 2², 3², 4², 5² हैं। अगला पद 6² = 36 होगा। उत्तर: 36
उदाहरण 8: श्रृंखला 2, 5, 10, 17, 26, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: पदों को लिखें: 1² + 1 = 2, 2² + 1 = 5, 3² + 1 = 10, 4² + 1 = 17, 5² + 1 = 26। अतः अगला पद 6² + 1 = 36 + 1 = 37 होगा। उत्तर: 37
उदाहरण 9: श्रृंखला 3, 7, 13, 21, 31, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: अंतर ज्ञात करें: 7 - 3 = 4, 13 - 7 = 6, 21 - 13 = 8, 31 - 21 = 10। अंतर 4, 6, 8, 10 है जो क्रमशः 2 बढ़ रहे हैं। अगला अंतर 12 होगा। अतः अगला पद = 31 + 12 = 43। वैकल्पिक रूप से, ये पद 2² - 1, 3² - 2, 4² - 3 आदि के रूप में भी देखे जा सकते हैं। उत्तर: 43
| पद क्रम | पद (n²) | अंतर (बढ़त) |
|---|---|---|
| 1² | 1 | - |
| 2² | 4 | 3 |
| 3² | 9 | 5 |
| 4² | 16 | 7 |
| 5² | 25 | 9 |
| 6² | 36 | 11 |
| पैटर्न प्रकार | पहचान का संकेत | उदाहरण श्रृंखला |
|---|---|---|
| समान अंतर (AP) | सभी अंतर समान | 4, 9, 14, 19, 24 |
| परिवर्ती अंतर | अंतर निश्चित क्रम में बदलते हैं | 2, 5, 10, 17, 26 |
| स्थिर गुणक | प्रत्येक पद में समान अनुपात | 3, 6, 12, 24, 48 |
| परिवर्ती गुणक | गुणक बढ़ते क्रम में | 1, 2, 6, 24, 120 |
| वर्ग श्रृंखला | पद पूर्ण वर्ग हों | 1, 4, 9, 16, 25 |
| घन श्रृंखला | पद पूर्ण घन हों | 1, 8, 27, 64, 125 |
flowchart TD
A[संख्या श्रृंखला] --> B[अंतर विधि]
A --> C[गुणन भाग विधि]
A --> D[वर्ग घन विधि]
A --> E[मिश्रित पैटर्न]
B --> B1[समान अंतर]
B --> B2[बढ़ता अंतर]
B --> B3[वैकल्पिक श्रृंखला]
C --> C1[स्थिर गुणक]
C --> C2[परिवर्ती गुणक]
C --> C3[भाग श्रृंखला]
D --> D1[पूर्ण वर्ग]
D --> D2[पूर्ण घन]
D --> D3[वर्ग प्लस माइनस अचर]
E --> E1[दो वैकल्पिक श्रृंखलाएँ]
E --> E2[संक्रियाओं का संयोजन]
संख्या श्रृंखला तर्कशक्ति के उन अध्यायों में से एक है जो पूर्णतया अभ्यास से नियंत्रित होती है। इस अध्याय में हमने अंतर विधि, गुणन-भाग विधि तथा वर्ग-घन और मिश्रित पैटर्न की विधियों का अध्ययन किया और प्रत्येक को चरणबद्ध हल सहित उदाहरणों द्वारा समझा। परीक्षा में सफलता के लिए आवश्यक है कि अभ्यर्थी रोज कम से कम 25 से 30 विभिन्न प्रकार की श्रृंखलाएँ हल करे और प्रत्येक गलत उत्तर को एक नोटबुक में लिखकर उसका पैटर्न समझे, जिससे परीक्षा में किसी भी संख्या श्रृंखला को देखकर तुरंत उसका पैटर्न पहचानने की क्षमता विकसित हो जाएगी।