विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: गणित – अंकगणित विषय-वस्तु: 2.4 औसत
औसत (Average) गणित की वह अवधारणा है जिससे किसी समूह की सामान्य या प्रतिनिधि मात्रा ज्ञात की जाती है। किसी n संख्याओं का औसत उन सबका योग को n से भाग देने पर प्राप्त होता है। औसत = (सभी पदों का योग)/(पदों की संख्या)। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा में औसत से प्रत्येक वर्ष 2 से 3 प्रश्न आते हैं। रेलवे में ट्रेन की औसत गति, प्रतिदिन की औसत दूरी, औसत ईंधन खपत तथा कर्मचारियों की औसत वेतन जैसे व्यावहारिक प्रश्न इसी अध्याय पर आधारित होते हैं।
औसत की गणना में यदि सभी पद समान हों, तो औसत उसी समान मान के बराबर होता है। औसत हमेशा सबसे बड़े पद से छोटा और सबसे छोटे पद से बड़ा होता है। यह गुणधर्म विकल्पों से उत्तर चुनने में सहायक होता है। क्रमागत संख्याओं का औसत ज्ञात करने की शॉर्टकट विधि भी परीक्षा में समय बचाती है।
इस अध्याय में हम औसत का मूल सूत्र, कुल योग और पदों की संख्या ज्ञात करना, क्रमागत संख्याओं का औसत, औसत गति, भार और मासिक वेतन से संबंधित प्रश्न तथा शॉर्टकट विधियों का विस्तृत अध्ययन करेंगे। "पद जोड़ने या घटाने से औसत बदलना" जैसे प्रश्न रेलवे परीक्षा में नियमित पूछे जाते हैं।
औसत = कुल योग/पदों की संख्या। इस सूत्र से — कुल योग = औसत × पदों की संख्या तथा पदों की संख्या = कुल योग/औसत भी ज्ञात किए जा सकते हैं।
उदाहरण 1: 15, 18, 22, 25 और 30 का औसत ज्ञात कीजिए।
हल: कुल योग = 15 + 18 + 22 + 25 + 30 = 110। पदों की संख्या = 5। औसत = 110/5 = 22। अतः औसत 22 है।
उदाहरण 2: 5 संख्याओं का औसत 12 है। कुल योग ज्ञात कीजिए।
हल: कुल योग = औसत × पदों की संख्या = 12 × 5 = 60। अतः कुल योग 60 है।
क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं 1, 2, 3, ..., n का औसत = (n + 1)/2 होता है। क्रमागत सम या विषम संख्याओं का औसत = (पहली संख्या + अंतिम संख्या)/2 होता है। 1 से n तक की विषम संख्याओं का औसत = (n + 1)/2 तथा सम संख्याओं का औसत = (n + 2)/2 होता है।
उदाहरण 3: 1 से 9 तक की प्राकृतिक संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।
हल: सूत्र (n + 1)/2 = (9 + 1)/2 = 5। अतः औसत 5 है। (सत्यापन: योग 45, औसत 45/9 = 5।)
उदाहरण 4: 2 से 20 तक की सम संख्याओं का औसत ज्ञात कीजिए।
हल: ये 2, 4, 6, ..., 20 हैं, कुल 10 पद। औसत = (पहली + अंतिम)/2 = (2 + 20)/2 = 11। अतः औसत 11 है।
औसत गति = कुल दूरी/कुल समय। यदि दो बराबर दूरियाँ क्रमशः गति v1 और v2 से तय की जाएँ, तो औसत गति = 2v1v2/(v1 + v2) होती है। औसत में पद जोड़ने या घटाने वाले प्रश्नों में पहले पुराने कुल योग और नए कुल योग की तुलना की जाती है।
उदाहरण 5: एक व्यक्ति एक दूरी 40 किमी/घंटा की गति से और समान दूरी 60 किमी/घंटा की गति से तय करता है। औसत गति ज्ञात कीजिए।
हल: सूत्र 2v1v2/(v1 + v2) = 2 × 40 × 60/(40 + 60) = 4800/100 = 48 किमी/घंटा। अतः औसत गति 48 किमी/घंटा है।
उदाहरण 6: 5 संख्याओं का औसत 20 है। यदि एक संख्या 30 को हटा दिया जाए, तो शेष 4 संख्याओं का औसत क्या होगा?
हल: कुल योग = 5 × 20 = 100। संख्या हटाने के बाद योग = 100 - 30 = 70। नया औसत = 70/4 = 17.5। अतः औसत 17.5 होगा।
| संकल्पना | सूत्र |
|---|---|
| औसत | कुल योग/पदों की संख्या |
| कुल योग | औसत × पदों की संख्या |
| पदों की संख्या | कुल योग/औसत |
| 1 से n तक औसत | (n + 1)/2 |
| क्रमागत सम/विषम औसत | (पहली + अंतिम)/2 |
| दो गति औसत | 2v1v2/(v1 + v2) |
| औसत गति | कुल दूरी/कुल समय |
| प्रश्न प्रकार | विधि | उदाहरण |
|---|---|---|
| सरल योग-औसत | योग ÷ संख्या | 110/5 = 22 |
| कुल योग ज्ञात | औसत × संख्या | 12 × 5 = 60 |
| क्रमागत संख्याएँ | (n+1)/2 | (9+1)/2 = 5 |
| पद जोड़ना/घटाना | कुल योग तुलना | (100-30)/4 = 17.5 |
| औसत गति | 2v1v2/(v1+v2) | 48 किमी/घंटा |
| भार/वेतन समूह | समीकरण विधि | कुल से घटाकर |
flowchart TD
A[औसत] --> B[मूल सूत्र]
A --> C[क्रमागत संख्याएँ]
A --> D[औसत गति]
A --> E[पदों का परिवर्तन]
B --> B1[योग/संख्या]
B --> B2[कुल = औसत × संख्या]
C --> C1[(n+1)/2]
C --> C2[(पहली+अंतिम)/2]
D --> D1[कुल दूरी/कुल समय]
D --> D2[2v1v2/(v1+v2)]
E --> E1[कुल योग की तुलना]
औसत अंकगणित का सरल परंतु अत्यधिक प्रयोगशील अध्याय है। इस अध्याय में हमने औसत के मूल सूत्र, कुल योग और पदों की संख्या के संबंध, क्रमागत संख्याओं के औसत की शॉर्टकट विधि, औसत गति के सूत्र तथा पदों के जोड़-घटाव वाले प्रश्नों को हल करना सीखा। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा में औसत के प्रश्न स्कोरिंग होते हैं क्योंकि इन्हें सूत्रों की सही पहचान से कुछ ही सेकंड में हल किया जा सकता है। विशेष रूप से समान दूरी की गतियों के लिए हरात्मक माध्य के सूत्र की पहचान परीक्षा में निर्णायक भूमिका निभाती है। नियमित अभ्यास से विद्यार्थी औसत के प्रश्नों में पूर्ण सटीकता प्राप्त कर सकता है।