विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: गणित – ज्यामिति और क्षेत्रमिति विषय-वस्तु: 4.4 वृत्त
वृत्त एक ऐसी बंद आकृति है जिसमें सभी बिंदु एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर स्थित होते हैं। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में वृत्त से संबंधित अवधारणाएँ जैसे त्रिज्या, व्यास, परिधि, क्षेत्रफल, जीवा, वृत्तखंड, त्रिज्यखंड, चाप, स्पर्श रेखा, अभिलंब तथा पाई (π) का उपयोग बार-बार पूछी जाती हैं। वृत्त की समझ के बिना पहिए, पाइप, वलय जैसी वस्तुओं से संबंधित प्रश्नों को हल करना संभव नहीं है। क्षेत्रमिति में वृत्त का विशेष स्थान है क्योंकि इसके सूत्रों में π का समावेश होता है।
वृत्त से जुड़ी मूल संज्ञाएँ महत्वपूर्ण हैं। केंद्र से वृत्त के किसी बिंदु तक की दूरी त्रिज्या (radius) कहलाती है। वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली और दोनों ओर वृत्त को छूने वाली रेखाखंड व्यास (diameter) है, जो त्रिज्या का दोगुना होता है। वृत्त की बाहरी परिधि की लंबाई परिधि (circumference) कहलाती है। वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड जीवा (chord) है और व्यास सबसे लंबी जीवा होती है। वृत्त का चाप (arc) परिधि का कोई भाग है। वृत्त को दो त्रिज्याओं और चाप से घिरा भाग त्रिज्यखंड (sector) तथा जीवा और चाप से घिरा भाग वृत्तखंड (segment) कहलाता है।
इस अध्याय में हम वृत्त से संबंधित सभी आवश्यक संज्ञाओं, त्रिज्या-व्यास का संबंध, परिधि और क्षेत्रफल के सूत्र, चाप की लंबाई, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, वृत्त की स्पर्श रेखा तथा केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब (जो जीवा को समद्विभाजित करता है) का अध्ययन करेंगे। प्रत्येक अवधारणा के साथ हल किए गए संख्यात्मक उदाहरण दिए गए हैं। अंत में त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएँ, माइंड मैप, महत्वपूर्ण चित्र, सामान्य त्रुटियाँ और परीक्षा युक्तियाँ प्रस्तुत की गई हैं।
वृत्त का सबसे मूल संबंध यह है कि व्यास = 2 × त्रिज्या, अर्थात d = 2r। यदि व्यास दिया हो तो त्रिज्या उसका आधा होती है। परिधि का सूत्र C = 2πr या C = πd है, जहाँ π ≈ 22/7 या 3.14 है। परिधि और व्यास का अनुपात सदैव π ही रहता है। परीक्षा में प्रायः त्रिज्या या व्यास दिया जाता है और परिधि पूछी जाती है, या परिधि दी जाती है और त्रिज्या पूछी जाती है। π के मान के रूप में प्रश्न में दिए गए मान (22/7 या 3.14) का ही उपयोग करना चाहिए।
वृत्त का क्षेत्रफल A = πr² होता है। यदि व्यास d दिया हो तो r = d/2 रखकर क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है। वृत्त के क्षेत्रफल से संबंधित प्रश्नों में πr² की गणना में त्रुटि सबसे आम होती है, अतः r² की सही गणना पर ध्यान देना आवश्यक है। दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है, जबकि परिधियों का अनुपात त्रिज्याओं के अनुपात के बराबर होता है। यह संबंध अनुपात-आधारित प्रश्नों में समय बचाने में सहायक है।
उदाहरण 1: एक वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है, इसकी परिधि ज्ञात कीजिए (π = 22/7)।
हल: परिधि = 2πr = 2 × (22/7) × 14 = 88 सेमी।
उदाहरण 2: एक वृत्त का व्यास 10 सेमी है, इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14)।
हल: त्रिज्या = 5 सेमी। क्षेत्रफल = πr² = 3.14 × 25 = 78.5 वर्ग सेमी।
चाप परिधि का कोई भाग है। यदि चाप द्वारा केंद्र पर θ अंश का कोण बने तो चाप की लंबाई = (θ/360°) × 2πr होती है। यहाँ θ कोण को अंश में लेना आवश्यक है। पूरा वृत्त 360° का होता है और उसकी परिधि 2πr है, अतः θ अंश के चाप की लंबाई परिधि के θ/360 अंश के बराबर होती है। अर्धवृत्त का चाप 180° का होता है, जिसकी लंबाई πr होती है। चतुर्थांश (90°) के चाप की लंबाई πr/2 होती है। ये भिन्न-भिन्न कोणों की चाप लंबाई परीक्षा में पूछी जाती हैं।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र (θ/360°) × πr² होता है, जहाँ θ त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण है। अर्धवृत्त का क्षेत्रफल πr²/2 और चतुर्थांश का क्षेत्रफल πr²/4 होता है। वृत्तखंड का क्षेत्रफल त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज (दो त्रिज्याओं और जीवा से बना) का क्षेत्रफल घटाकर निकाला जाता है। केंद्रीय कोण के अनुपात पर आधारित प्रश्न भी सामान्य हैं; उदाहरण के लिए यदि त्रिज्यखंड का कोण 90° है तो उसका क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का 1/4 होगा।
उदाहरण 3: एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है और उसका केंद्रीय कोण 60° है, चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए (π = 22/7)।
हल: चाप की लंबाई = (60/360) × 2 × (22/7) × 7 = (1/6) × 44 = 22/3 सेमी ≈ 7.33 सेमी।
उदाहरण 4: त्रिज्या 7 सेमी और केंद्रीय कोण 90° वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 22/7)।
हल: क्षेत्रफल = (90/360) × (22/7) × 7² = (1/4) × 154 = 38.5 वर्ग सेमी।
केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। यह गुणधर्म परीक्षा में सबसे अधिक पूछा जाता है। यदि केंद्र से जीवा पर लंब डाला जाए तो वह जीवा को दो बराबर भागों में बाँट देता है। इसी गुणधर्म से केंद्र से जीवा की दूरी, जीवा की लंबाई और त्रिज्या के बीच पाइथागोरस संबंध स्थापित होता है। यदि केंद्र की जीवा से दूरी d है और त्रिज्या r है तो जीवा की आधी लंबाई √(r² - d²) होगी। यह संबंध अनेक प्रश्नों का आधार है।
स्पर्श रेखा (tangent) वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या, स्पर्श रेखा के लंबवत् होती है। यह सबसे महत्वपूर्ण स्पर्श रेखा गुणधर्म है। किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं और उनकी लंबाइयाँ बराबर होती हैं। केंद्र से जीवा पर लंब डालने पर वह जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए प्रश्नों में प्रायः त्रिज्या, जीवा और केंद्र की दूरी से त्रिभुज बनाकर पाइथागोरस प्रमेय लगाया जाता है। इन गुणधर्मों पर आधारित प्रश्नों की संख्या परीक्षा में अधिक होती है।
उदाहरण 5: एक वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है और केंद्र से जीवा की दूरी 5 सेमी है, जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल: आधी जीवा = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 सेमी। पूरी जीवा = 24 सेमी।
| संकल्पना | सूत्र | उदाहरण (r = 7) |
|---|---|---|
| व्यास | d = 2r | 14 |
| परिधि | 2πr | 44 |
| क्षेत्रफल | πr² | 154 |
| चाप की लंबाई | (θ/360°) × 2πr | 60° पर 22/3 |
| त्रिज्यखंड क्षेत्रफल | (θ/360°) × πr² | 90° पर 38.5 |
| संज्ञा | परिभाषा |
|---|---|
| त्रिज्या | केंद्र से परिधि की दूरी |
| व्यास | केंद्र से गुजरने वाली सबसे लंबी जीवा |
| जीवा | दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड |
| स्पर्श रेखा | वृत्त को एक बिंदु पर स्पर्श करने वाली रेखा |
| चाप | परिधि का भाग |
| त्रिज्यखंड | दो त्रिज्याओं और चाप से घिरा भाग |
| वृत्तखंड | जीवा और चाप से घिरा भाग |
flowchart TD
A[वृत्त] --> B[मूल संज्ञाएँ]
A --> C[परिधि व क्षेत्रफल]
A --> D[चाप व त्रिज्यखंड]
A --> E[जीवा व स्पर्श रेखा]
B --> B1[त्रिज्या, व्यास, जीवा]
C --> C1[2πr और πr²]
D --> D1[(θ/360°) × 2πr]
D --> D2[(θ/360°) × πr²]
E --> E1[केंद्र से लंब जीवा समद्विभाजित]
E --> E2[स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या लंबवत्]
वृत्त क्षेत्रमिति का महत्वपूर्ण अध्याय है जिसमें त्रिज्या, व्यास, परिधि, क्षेत्रफल, चाप, त्रिज्यखंड, जीवा और स्पर्श रेखा जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। इस अध्याय में हमने वृत्त के सभी मूल सूत्रों और गुणधर्मों का अध्ययन किया तथा संख्यात्मक उदाहरणों से उनके अनुप्रयोग को समझा। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में वृत्त से संबंधित प्रश्न परिधि, क्षेत्रफल, चाप और जीवा के गुणधर्मों पर आधारित होते हैं। π के सही उपयोग, सूत्रों की स्मृति और इकाई की सजगता के साथ इस अध्याय में पूर्ण अंक प्राप्त किए जा सकते हैं। वृत्त की अवधारणा पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन जैसे आगे के अध्यायों में भी उपयोगी सिद्ध होगी।