विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: गणित – सांख्यिकी त्रिकोणमिति और विविध विषय-वस्तु: 5.2 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ वे समीकरण हैं जो त्रिकोणमितीय अनुपातों के कोणों के सभी मानों के लिए सत्य होती हैं। पिछले अध्याय में हमने त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषाएँ और विशेष कोणों के मान सीखे थे। अब इस अध्याय में हम उन सर्वसमिकाओं का अध्ययन करेंगे जो इन अनुपातों को आपस में जोड़ती हैं। ये सर्वसमिकाएँ व्यंजकों को सरल करने, प्रश्नों को हल करने और जटिल त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सिद्ध करने में अत्यंत उपयोगी होती हैं। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में इस अध्याय से 1 से 2 प्रश्न पूछे जाते हैं।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का सबसे महत्वपूर्ण समूह पाइथागोरस के नाम से जाना जाता है। समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय से तीन मूल सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं — sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ तथा 1 + cot²θ = cosec²θ। ये तीनों सर्वसमिकाएँ सभी प्रश्नों की कुंजी हैं। इनके विभिन्न रूपों जैसे sin²θ = 1 - cos²θ, cos²θ = 1 - sin²θ, sec²θ - tan²θ = 1 आदि को भी याद रखना आवश्यक है।
इस अध्याय में हम इन सर्वसमिकाओं के विभिन्न रूपों को सीखेंगे और उनकी सहायता से त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल करना तथा सर्वसमिकाओं को सिद्ध करना सीखेंगे। इसके अलावा सर्वसमिकाओं का उपयोग करके अनुपातों के बीच के संबंध स्थापित करेंगे। कई प्रश्नों में दिए गए व्यंजकों का मान ज्ञात करना होता है, जो सीधे सर्वसमिकाओं से हल हो जाते हैं। इन सर्वसमिकाओं की ठोस पकड़ से आगे के अध्यायों की समस्याएँ भी आसान हो जाती हैं।
पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त तीन मूल सर्वसमिकाएँ त्रिकोणमिति का आधार हैं। प्रथम सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 है। इसके रूपांतरण sin²θ = 1 - cos²θ और cos²θ = 1 - sin²θ होते हैं। द्वितीय सर्वसमिका 1 + tan²θ = sec²θ है, जिससे tan²θ = sec²θ - 1 तथा sec²θ - tan²θ = 1 प्राप्त होते हैं। तृतीय सर्वसमिका 1 + cot²θ = cosec²θ है, जिससे cot²θ = cosec²θ - 1 प्राप्त होता है। ध्यान रहे कि sin²θ का अर्थ (sin θ)² होता है, sin θ² नहीं।
इन सर्वसमिकाओं की सहायता से जटिल व्यंजकों का सरलीकरण किया जाता है। किसी व्यंजक को सरल करते समय उचित सर्वसमिका चुनकर 1 - cos²θ को sin²θ में, sec²θ - 1 को tan²θ में तथा 1 - sin²θ को cos²θ में बदलना सीखना चाहिए। इसी प्रकार हर और अंश में समान पदों की पहचान कर काटना भी सरलीकरण की प्रमुख विधि है। ये सर्वसमिकाएँ त्रिकोणमितीय व्यंजकों के मान ज्ञात करने में भी प्रयोग होती हैं।
उदाहरण 1: sin² 30° + cos² 30° का मान ज्ञात कीजिए।
हल: sin 30° = 1/2 तथा cos 30° = √3/2।
sin² 30° + cos² 30° = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1।
यहाँ सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 सत्यापित हुई।
उदाहरण 2: यदि cos θ = 5/13 हो, तो sin θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: sin²θ = 1 - cos²θ = 1 - (5/13)² = 1 - 25/169 = 144/169।
sin θ = 12/13 (धनात्मक मान लेते हैं, क्योंकि θ न्यून कोण है)।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को सिद्ध करने के लिए या तो बाईं ओर को सरल कर दाईं ओर के बराबर लाया जाता है, या दाईं ओर को सरल कर बाईं ओर के बराबर लाया जाता है। कभी-कभी दोनों पक्षों को अलग-अलग सरल करके किसी समान रूप में लाया जाता है। सामान्य विधियाँ हैं: सभी अनुपातों को sin और cos में बदलना, हर का परिमेयकरण करना, तथा उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना। परीक्षा में सबसे अधिक प्रश्न sin और cos के पदों में होते हैं, जिन्हें मूल सर्वसमिकाओं से हल किया जाता है।
सिद्ध करने के प्रश्नों में तीन-चरणीय रणनीति अपनानी चाहिए। पहले व्यंजक के सभी पदों को sin और cos में बदलें। दूसरे, उभयनिष्ठ पद निकालें और जहाँ संभव हो sin²θ + cos²θ = 1 का प्रयोग करें। तीसरे, अंतिम रूप को लक्ष्य से मिलाएँ। उदाहरण के लिए (1 - cos θ)(1 + cos θ) को सिद्ध करने के लिए उसे 1 - cos²θ = sin²θ के रूप में बदलते हैं। इसी प्रकार (sec A + tan A)(sec A - tan A) = 1 को sec²A - tan²A = 1 से सीधे सिद्ध किया जाता है।
उदाहरण 3: सिद्ध कीजिए कि (1 - cos A)(1 + cos A) = sin²A।
हल: बाईं ओर = (1 - cos A)(1 + cos A) = 1 - cos²A।
चूँकि sin²A + cos²A = 1, अतः 1 - cos²A = sin²A।
अतः बाईं ओर = sin²A = दाईं ओर। सिद्ध हुआ।
उदाहरण 4: सिद्ध कीजिए कि (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1।
हल: बाईं ओर = sec²θ - tan²θ।
सर्वसमिका 1 + tan²θ = sec²θ से, sec²θ - tan²θ = 1।
अतः बाईं ओर = 1 = दाईं ओर। सिद्ध हुआ।
त्रिकोणमितीय व्यंजकों के मान ज्ञात करने में सर्वसमिकाओं का बड़ा योगदान होता है। कई व्यंजकों को सीधे सरल करके संख्या में बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए sin²θ + cos²θ का मान सदैव 1 होता है, चाहे θ का कोई भी मान हो। इसी प्रकार sec²θ - tan²θ = 1 और cosec²θ - cot²θ = 1 होता है। ऐसे व्यंजकों में कोणों के मान निकालने की आवश्यकता नहीं होती, केवल सर्वसमिका की पहचान करनी होती है।
मान ज्ञात करने के प्रश्नों में कुछ व्यंजकों में विशेष कोणों के मान सीधे रखकर हल किया जाता है। उदाहरण के लिए tan²45° + cot²45° जैसे व्यंजकों में tan 45° = 1 रखकर सरलता से उत्तर प्राप्त होता है। कुछ प्रश्नों में दो चरणों की आवश्यकता होती है — पहले सर्वसमिका से व्यंजक को सरल करना, फिर दिए गए कोण का मान रखना। इस प्रकार के प्रश्न रेलवे की परीक्षा में बार-बार पूछे जाते हैं, इसलिए सर्वसमिकाओं के सभी रूपों का अभ्यास आवश्यक है।
उदाहरण 5: sin² 35° + cos² 35° का मान ज्ञात कीजिए।
हल: सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 के अनुसार, sin² 35° + cos² 35° = 1।
यहाँ कोण 35° का मान निकालने की आवश्यकता नहीं है।
उदाहरण 6: (1 - sin² θ) / cos² θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 1 - sin²θ = cos²θ (सर्वसमिका से)।
मान = cos²θ / cos²θ = 1।
| मूल सर्वसमिका | रूपांतरित रूप |
|---|---|
| sin²θ + cos²θ = 1 | sin²θ = 1 - cos²θ, cos²θ = 1 - sin²θ |
| 1 + tan²θ = sec²θ | tan²θ = sec²θ - 1, sec²θ - tan²θ = 1 |
| 1 + cot²θ = cosec²θ | cot²θ = cosec²θ - 1, cosec²θ - cot²θ = 1 |
| tan θ = sin θ / cos θ | cot θ = cos θ / sin θ |
| sin(90° - θ) = cos θ | cos(90° - θ) = sin θ |
| व्यंजक | सरल रूप |
|---|---|
| sin²θ + cos²θ | 1 |
| sec²θ - tan²θ | 1 |
| cosec²θ - cot²θ | 1 |
| (1 - cos θ)(1 + cos θ) | sin²θ |
| (sec A - tan A)(sec A + tan A) | 1 |
| (1 + tan²A) | sec²A |
flowchart TD
A[त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ] --> B[मूल सर्वसमिकाएँ]
A --> C[रूपांतरण]
A --> D[सिद्ध करने की विधि]
A --> E[मान ज्ञात करना]
B --> B1[sin²θ + cos²θ = 1]
B --> B2[1 + tan²θ = sec²θ]
B --> B3[1 + cot²θ = cosec²θ]
C --> C1[sin और cos में बदलना]
C --> C2[व्युत्क्रम संबंध]
D --> D1[बाईं ओर को सरल करना]
D --> D2[परिमेयकरण]
E --> E1[सर्वसमिका पहचानें]
E --> E2[विशेष कोण के मान रखें]
sin²θ + cos²θ को sinθ² + cosθ² समझ लेना; sin²θ का अर्थ (sin θ)² होता है।1 + tan²θ = sec²θ को 1 - tan²θ = sec²θ लिखना।sec²θ - tan²θ का मान शून्य लिखना, जबकि सही मान 1 है।cosec²θ - cot²θ की जगह cot²θ - cosec²θ का उपयोग करना, जिससे मान -1 आता है।1 - cos²θ को sinθ लिखना, जबकि यह sin²θ होता है।cos²(-θ) को ऋणात्मक मानना।sin²θ + cos²θ जैसे समूहों की पहचान करके उन्हें तुरंत 1 लिखें।(a-b)(a+b) = a² - b² सूत्र का प्रयोग करके परिमेयकरण करें।त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ त्रिकोणमिति के सभी प्रश्नों को हल करने की मूल कुंजी हैं। इस अध्याय में हमने तीन मूल पाइथागोरस सर्वसमिकाओं — sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ और 1 + cot²θ = cosec²θ — तथा उनके सभी रूपांतरों को विस्तार से सीखा। हमने सर्वसमिकाओं की सहायता से त्रिकोणमितीय व्यंजकों का सरलीकरण, सर्वसमिकाओं को सिद्ध करना तथा व्यंजकों के मान ज्ञात करना सीखा। सभी पदों को sin और cos में बदलकर सरल करने की विधि इस अध्याय की सबसे महत्वपूर्ण तकनीक है। इन सर्वसमिकाओं की पकड़ आगे के अध्याय — ऊँचाई और दूरी तथा मिश्रित प्रश्नों — में सीधे काम आएगी। नियमित अभ्यास से सर्वसमिकाओं के प्रश्न कुछ ही सेकंड में हल किए जा सकते हैं, जो परीक्षा में निश्चित अंक सुनिश्चित करते हैं।