विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: तर्कशक्ति – कूटलेखन और वर्गीकरण विषय-वस्तु: 7.5 गणितीय संक्रियाएँ
गणितीय संक्रियाएँ तर्कशक्ति परीक्षा की एक विशेष विधा है, जिसमें चिन्हों (जैसे +, -, ×, ÷) को नए अर्थ दिए जाते हैं या दो चिन्हों को परस्पर बदल दिया जाता है। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में इस विधा से प्रायः 1 से 2 प्रश्न पूछे जाते हैं। इन प्रश्नों का उद्देश्य यह जाँचना है कि परीक्षार्थी सामान्य नियमों से बंधे बिना, दिए गए नए नियमों के अनुसार गणना कर सकता है या नहीं। इनमें सामान्य BODMAS नियम के साथ-साथ प्रश्न में दिए गए विशेष नियमों का ध्यान रखना होता है।
इस विधा में मुख्य रूप से तीन प्रकार के प्रश्न आते हैं। पहले प्रकार में चिन्हों के नए अर्थ दिए जाते हैं, जैसे "+" का अर्थ घटाना और "-" का अर्थ जोड़ना। दूसरे प्रकार में दो चिन्हों को परस्पर बदलने के बाद व्यंजक का मान ज्ञात करना होता है। तीसरे प्रकार में यह बताना होता है कि कौन-सा व्यंजक दिए गए विकल्पों में सही है, अर्थात किस विकल्प में गलत चिन्हों के बावजूद सही परिणाम प्राप्त होता है। इन सभी में सबसे आवश्यक है कि नए नियम को ध्यानपूर्वक लागू किया जाए और BODMAS क्रम में संक्रियाएँ की जाएँ।
इस अध्याय में हम चिन्ह प्रतिस्थापन, चिन्ह अदला-बदली, संख्या अदला-बदली, व्यंजक की सत्यता की जाँच और कोष्ठक आधारित प्रश्नों को उदाहरण सहित सीखेंगे। विशेष ध्यान इस बात पर होगा कि नियम बदलने के बाद संक्रियाओं का क्रम कैसे निर्धारित होता है। परीक्षा में गलतियाँ प्रायः इसलिए होती हैं क्योंकि परीक्षार्थी नए नियम को भूलकर सामान्य गणित के नियम लागू कर देता है। आइए प्रत्येक प्रकार को उदाहरणों के साथ विस्तार से समझते हैं।
इस प्रकार के प्रश्नों में गणितीय चिन्हों (+, -, ×, ÷) के नए अर्थ दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि कहा जाए कि "+" का अर्थ "-" है और "-" का अर्थ "+" है, तो व्यंजक को इन नए अर्थों के अनुसार हल करना होगा। सबसे पहले दिए गए नियम को लिखकर स्पष्ट करें, फिर व्यंजक में चिन्हों को बदलकर BODMAS नियम के अनुसार गणना करें। ध्यान दें कि कोष्ठक और घातांक के चिन्ह कभी नहीं बदले जाते।
उदाहरण 1: यदि "+" का अर्थ "-", "-" का अर्थ "×", "×" का अर्थ "÷" और "÷" का अर्थ "+" हो, तो 20 ÷ 5 - 3 + 2 का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान: नए नियम के अनुसार व्यंजक बनता है - 20 + 5 × 3 - 2। अब BODMAS क्रम से पहले गुणा: 5 × 3 = 15, तब व्यंजक 20 + 15 - 2 = 33। अतः उत्तर = 33।
उदाहरण 2: यदि "+" का अर्थ "÷", "÷" का अर्थ "×", "×" का अर्थ "-" और "-" का अर्थ "+" हो, तो 12 × 2 + 4 - 6 ÷ 3 का मान क्या होगा?
समाधान: नए नियम से व्यंजक बनता है - 12 - 2 ÷ 4 + 6 × 3। BODMAS क्रम से पहले ÷: 2 ÷ 4 = 1/2, फिर ×: 6 × 3 = 18, तब 12 - 1/2 + 18 = 29.5। यदि विकल्प पूर्णांक में हों तो भिन्न के प्रश्नों में चिन्हों को ध्यान से बदलें। यहाँ 12 - 2 ÷ 4 + 18 = 12 - 0.5 + 18 = 29.5, अतः निकटतम सही विकल्प चुनें।
चिन्ह प्रतिस्थापन के प्रश्नों में सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि चिन्ह बदलने के बाद कोष्ठक (B), घातांक (O), भाग (D), गुणा (M), जोड़ (A), घटाव (S) के क्रम का सख्ती से पालन करें। कई परीक्षार्थी चिन्ह बदलकर बाएँ से दाएँ गणना करते हैं, जो गलत है। यदि व्यंजक में कोष्ठक हों, तो पहले कोष्ठक के भीतर की गणना नए नियम के अनुसार करें।
चिन्ह अदला-बदली के प्रश्नों में दो चिन्हों को परस्पर बदला जाता है, जैसे "+" और "×" की अदला-बदली करना। इसमें व्यंजक के अन्य चिन्ह यथावत रहते हैं, केवल बताए गए दो चिन्हों के स्थान परस्पर बदल जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि "+" और "×" बदले जाते हैं, तो व्यंजक में जहाँ "+" है वहाँ "×" और जहाँ "×" है वहाँ "+" लिखा जाएगा। फिर BODMAS क्रम से गणना की जाती है।
उदाहरण 3: यदि "+" और "×" को परस्पर बदल दिया जाए, तो 6 + 4 × 3 - 2 का मान क्या होगा?
समाधान: अदला-बदली के बाद व्यंजक बनता है - 6 × 4 + 3 - 2। BODMAS क्रम से पहले गुणा: 6 × 4 = 24, फिर 24 + 3 - 2 = 25। अतः उत्तर = 25।
संख्या अदला-बदली के प्रश्नों में संख्याओं को बदला जाता है, जैसे 2 और 5 की अदला-बदली। इसमें व्यंजक में जहाँ 2 है वहाँ 5 और जहाँ 5 है वहाँ 2 लिखा जाता है, चिन्ह यथावत रहते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 2 और 5 बदले जाएँ, तो 2 × 5 + 4 व्यंजक 5 × 2 + 4 बन जाता है, जिसका मान 14 है। अदला-बदली के प्रश्नों में केवल बताई गई वस्तुएँ (चिन्ह या संख्या) बदलती हैं, शेष सब समान रहता है।
उदाहरण 4: यदि "+" और "÷" को परस्पर बदल दिया जाए, तो 10 + 5 ÷ 1 का मान क्या होगा?
समाधान: अदला-बदली के बाद व्यंजक 10 ÷ 5 + 1 बनता है। BODMAS क्रम से पहले भाग: 10 ÷ 5 = 2, फिर 2 + 1 = 3। अतः उत्तर = 3।
इस प्रकार के प्रश्नों में चार विकल्प दिए होते हैं और बताना होता है कि कौन-सा व्यंजक सही है या किस विकल्प में दी गई समीकरण संतुष्ट होती है। ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक विकल्प की जाँच करनी होती है। शीघ्र हल के लिए पहले उन विकल्पों को हटाएँ जिनमें परिणाम तुरंत असंभव दिखता है। कभी-कभी प्रश्न में कहा जाता है कि दो चिन्हों को बदलने पर कौन-सा व्यंजक सही हो जाता है, तब प्रत्येक विकल्प पर अदला-बदली लागू करके जाँच करते हैं।
उदाहरण 5: यदि "+" और "-" को परस्पर बदला जाए, तो निम्न में से कौन-सा व्यंजक सही होगा? (क) 12 + 5 - 3 = 14 (ख) 10 - 4 + 2 = 8 (ग) 7 + 2 - 1 = 8 (घ) 9 - 3 + 4 = 10
समाधान: नियम के अनुसार "+" को "-" और "-" को "+" लिखें। (क) 12 - 5 + 3 = 10 ≠ 14 गलत। (ख) 10 + 4 - 2 = 12 ≠ 8 गलत। (ग) 7 - 2 + 1 = 6 ≠ 8 गलत। (घ) 9 + 3 - 4 = 8 ≠ 10 गलत। अतः कोई भी सही नहीं है; ऐसे में प्रश्न को पुनः जाँचें। यदि विकल्प (घ) में दायाँ पक्ष 8 होता, तो वह सही होता।
संयुक्त प्रश्नों में चिन्ह और संख्या दोनों बदली जाती हैं, या तीन चिन्हों का एक साथ प्रतिस्थापन होता है। ऐसे प्रश्न ध्यानपूर्वक पढ़ने पर ही हल होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि "+" का अर्थ "÷", "÷" का अर्थ "+", "×" का अर्थ "-" और "-" का अर्थ "×" हो, तो व्यंजक में सभी चार चिन्ह बदलने पड़ेंगे। ऐसे प्रश्नों में पहले सभी चिन्हों का नया रूप लिखें, फिर BODMAS लागू करें।
उदाहरण 6: यदि "+" का अर्थ "÷", "÷" का अर्थ "+", "×" का अर्थ "-" और "-" का अर्थ "×" हो, तो 8 × 4 + 2 - 6 ÷ 3 का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान: नए नियम से व्यंजक बनता है - 8 - 4 ÷ 2 × 6 + 3। BODMAS क्रम से पहले ÷: 4 ÷ 2 = 2, फिर ×: 2 × 6 = 12, तब 8 - 12 + 3 = -1। अतः उत्तर = -1।
| प्रकार | क्या बदलता है | उदाहरण |
|---|---|---|
| चिन्ह प्रतिस्थापन | चिन्हों के नए अर्थ | "+" का अर्थ "-" |
| चिन्ह अदला-बदली | दो चिन्ह परस्पर | "+" ↔ "×" |
| संख्या अदला-बदली | दो संख्याएँ परस्पर | 2 ↔ 5 |
| संयुक्त प्रतिस्थापन | चारों चिन्ह | "+", "-", "×", "÷" सब |
| क्रम | संक्रिया | प्रतीक |
|---|---|---|
| 1 | कोष्ठक | ( ), { }, [ ] |
| 2 | घातांक | x², √ |
| 3 | भाग | ÷ |
| 4 | गुणा | × |
| 5 | जोड़ | + |
| 6 | घटाव | - |
flowchart TD
A[गणितीय संक्रियाएँ] --> B[चिन्ह प्रतिस्थापन]
A --> C[चिन्ह अदला-बदली]
A --> D[संख्या अदला-बदली]
A --> E[व्यंजक सत्यता जाँच]
A --> F[संयुक्त प्रश्न]
B --> B1[चिन्हों के नए अर्थ]
C --> C1[दो चिन्हों का आदान-प्रदान]
D --> D1[दो संख्याओं का आदान-प्रदान]
E --> E1[विकल्पों की जाँच]
F --> F1[सभी चिन्ह बदलना]
F --> F2[BODMAS लागू करना]
गणितीय संक्रियाएँ तर्कशक्ति की एक रोचक विधा है, जिसमें दिए गए विशेष नियमों के अनुसार चिन्हों और संख्याओं को बदलकर व्यंजकों को हल किया जाता है। इस अध्याय में हमने चिन्ह प्रतिस्थापन, चिन्ह अदला-बदली, संख्या अदला-बदली, व्यंजक की सत्यता की जाँच और संयुक्त प्रतिस्थापन को उदाहरण सहित समझा। इन सभी का मूल नियम यही है कि चिन्हों के नए अर्थ लागू करने के बाद भी गणना का क्रम BODMAS ही रहता है। प्रश्न में दिए गए नियम को ध्यानपूर्वक पढ़ना और प्रत्येक विकल्प की जाँच करना सटीक उत्तर की कुंजी है। नियमित अभ्यास से यह विधा रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में सरलतापूर्वक पूर्ण अंक दिलाने में सहायक सिद्ध होगी।