विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: तर्कशक्ति – संबंध और दिशा विषय-वस्तु: 8.4 दूरी आधारित दिशा
दूरी आधारित दिशा (Distance and Direction) दिशा ज्ञान का वह उन्नत रूप है, जिसमें दिशा के साथ-साथ दूरी का भी ध्यान रखना पड़ता है। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में इस विधा से प्रायः 1 से 2 प्रश्न पूछे जाते हैं। इन प्रश्नों में किसी व्यक्ति की गति को दिशाओं और दूरियों (जैसे उत्तर की ओर 4 किमी) के साथ बताया जाता है और पूछा जाता है कि अंतिम स्थिति किस दिशा में है, कितनी दूरी पर है, या प्रारंभिक स्थिति से सीधी (रेखीय) दूरी कितनी है। इसमें दिशा के नियमों के साथ-साथ पाइथागोरस प्रमेय (a² + b² = c²) का ज्ञान भी आवश्यक है।
दूरी आधारित प्रश्नों में दो प्रकार की दूरियाँ होती हैं - तय की गई दूरी (पथ की कुल दूरी) और विस्थापन (प्रारंभिक से अंतिम स्थिति के बीच की सीधी दूरी)। उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति उत्तर की ओर 3 किमी, फिर पूर्व की ओर 4 किमी चलता है, तो कुल तय दूरी 7 किमी है, परंतु प्रारंभ से अंत तक की सीधी दूरी 5 किमी है (3-4-5 त्रिभुज)। इसी प्रकार अंतिम स्थिति की दिशा उत्तर-पूर्व के बीच में होगी। ऐसे प्रश्नों को रेखाचित्र बनाकर ही हल करना चाहिए।
इस अध्याय में हम सीधी गति वाले प्रश्न, मोड़ वाले दूरी प्रश्न, पाइथागोरस से सीधी दूरी ज्ञात करना, विपरीत दिशाओं में गति के प्रश्न और अंतिम स्थिति-दिशा निर्धारण को उदाहरण सहित सीखेंगे। सबसे महत्वपूर्ण है रेखाचित्र को सही माप के साथ बनाना - प्रत्येक किमी को समान लंबाई में दर्शाना। साथ ही 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13 जैसे पाइथागोरस त्रिक याद रखना दूरी प्रश्नों को तेजी से हल करने में सहायक होता है। आइए इन सभी को विस्तार से समझते हैं।
सीधी गति वाले प्रश्नों में व्यक्ति बिना मोड़ के एक या अधिक दिशाओं में दूरी तय करता है। ऐसे प्रश्नों में केवल अंतिम स्थिति की दिशा और प्रारंभ से दूरी ज्ञात करनी होती है। मोड़ वाले प्रश्नों में बाएँ-दाएँ मोड़ के साथ दूरियाँ दी जाती हैं। इन्हें हल करने के लिए सबसे पहले रेखाचित्र बनाएँ - ऊपर उत्तर, नीचे दक्षिण, दाईं ओर पूर्व, बाईं ओर पश्चिम, फिर प्रत्येक गति को उचित दिशा और लंबाई में खींचें।
उदाहरण 1: एक व्यक्ति पूर्व की ओर 5 किमी चलता है, फिर बाईं ओर मुड़कर 5 किमी चलता है। अब वह प्रारंभिक स्थिति से किस दिशा में है?
समाधान: पूर्व से बाईं ओर मुड़ने पर उत्तर की ओर जाता है। अतः वह 5 किमी पूर्व और 5 किमी उत्तर में है। प्रारंभिक बिंदु से उसकी स्थिति उत्तर-पूर्व दिशा के बीच में है। सीधी दूरी पाइथागोरस से √(5² + 5²) = √50 ≈ 7.07 किमी है।
उदाहरण 2: राम दक्षिण की ओर 8 किमी, फिर पश्चिम की ओर 6 किमी चलता है। वह प्रारंभिक स्थिति से कितनी दूरी पर है?
समाधान: 8 किमी दक्षिण और 6 किमी पश्चिम मिलकर समकोण त्रिभुज बनाते हैं। सीधी दूरी = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 किमी। यह 6-8-10 पाइथागोरस त्रिक है। अतः उत्तर 10 किमी है।
मोड़ वाले प्रश्नों में प्रत्येक मोड़ के बाद नई मुख-दिशा लिखते जाएँ। रेखाचित्र में सभी दूरियों को समान पैमाने पर खींचें। जब गति दो परस्पर लंबवत दिशाओं (जैसे उत्तर और पूर्व) में हो, तो अंतिम स्थिति प्रारंभ से समकोण त्रिभुज के कर्ण पर होती है। यदि गति विपरीत दिशाओं (जैसे उत्तर फिर दक्षिण) में हो, तो दूरियों का अंतर ही परिणामी दूरी होती है और दिशा बड़ी दूरी वाली दिशा होती है।
जब व्यक्ति एक दिशा में जाकर विपरीत दिशा में लौटता है, तो विपरीत दूरियाँ घटा दी जाती हैं। उदाहरण के लिए, उत्तर की ओर 5 किमी फिर दक्षिण की ओर 3 किमी चलने पर अंतिम स्थिति प्रारंभ से उत्तर की ओर 2 किमी पर होगी। इसी प्रकार पूर्व 7 किमी फिर पश्चिम 4 किमी चलने पर अंतिम स्थिति प्रारंभ से पूर्व की ओर 3 किमी पर होगी। विपरीत दिशाओं की दूरियों को एक-दूसरे से घटाकर शुद्ध दूरी निकाली जाती है, और दिशा अधिक दूरी वाली दिशा होती है।
उदाहरण 3: मीरा उत्तर की ओर 10 किमी चलती है, फिर दक्षिण की ओर 4 किमी चलती है, फिर पूर्व की ओर 6 किमी चलती है। वह प्रारंभिक स्थिति से किस दिशा में और कितनी दूरी पर है?
समाधान: उत्तर 10 किमी और दक्षिण 4 किमी को घटाने पर उत्तर की ओर शुद्ध 6 किमी बचती है। फिर पूर्व 6 किमी। अतः अंतिम स्थिति प्रारंभ से 6 किमी उत्तर और 6 किमी पूर्व में है। सीधी दूरी = √(6² + 6²) = √72 ≈ 8.49 किमी, और दिशा उत्तर-पूर्व के बीच है।
विपरीत दिशाओं की गणना में ध्यान रखें कि दूरियाँ तभी घटती हैं जब दिशाएँ ठीक विपरीत हों (उत्तर-दक्षिण, पूर्व-पश्चिम)। अन्यथा दूरियाँ अलग-अलग रहती हैं और अंतिम स्थिति उन दोनों दिशाओं से निर्धारित होती है। रेखाचित्र में उत्तर-दक्षिण की दूरियों को ऊर्ध्वाधर और पूर्व-पश्चिम की दूरियों को क्षैतिज दिखाएँ। प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु की सीधी दूरी के लिए इन दो शुद्ध दूरियों का वर्गों का योग लेकर वर्गमूल निकालें।
उदाहरण 4: अजय पूर्व की ओर 12 किमी, फिर उत्तर की ओर 5 किमी, फिर पश्चिम की ओर 8 किमी चलता है। अब वह प्रारंभ से कितनी दूरी पर है?
समाधान: पूर्व 12 किमी और पश्चिम 8 किमी घटाने पर पूर्व की ओर शुद्ध 4 किमी बचती है। उत्तर की ओर 5 किमी। अतः सीधी दूरी = √(4² + 5²) = √41 ≈ 6.4 किमी। उत्तर लगभग 6.4 किमी है।
दूरी आधारित प्रश्नों में सबसे अधिक उपयोगी पाइथागोरस त्रिक हैं - 3-4-5, 5-12-13, 6-8-10, 7-24-25, 8-15-17, 9-12-15। जब प्रश्न में दो परस्पर लंबवत दूरियाँ दी हों और इनका त्रिक बनता हो, तो तीसरी भुजा (कर्ण) तुरंत ज्ञात हो जाती है। उदाहरण के लिए, 6 और 8 किमी पर 10 किमी, 5 और 12 पर 13, 3 और 4 पर 5। ये त्रिक दूरी प्रश्नों की गणना को अत्यंत तीव्र कर देते हैं।
उदाहरण 5: एक व्यक्ति उत्तर की ओर 5 किमी, फिर पूर्व की ओर 12 किमी चलता है। प्रारंभिक स्थिति से उसकी सीधी दूरी क्या है?
समाधान: 5 और 12 का पाइथागोरस त्रिक 13 है (5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²)। अतः सीधी दूरी 13 किमी है।
अंतिम स्थिति की दिशा निर्धारित करने के लिए देखें कि शुद्ध उत्तर-दक्षिण दूरी और शुद्ध पूर्व-पश्चिम दूरी किस ओर है। यदि व्यक्ति उत्तर और पूर्व दोनों की ओर गया है, तो अंतिम स्थिति उत्तर-पूर्व दिशा में होगी। यदि शुद्ध दूरी केवल एक दिशा में है, तो अंतिम स्थिति उसी मुख्य दिशा में होती है। जब दोनों दूरियाँ बराबर हों (जैसे 6 उत्तर और 6 पूर्व), तो स्थिति ठीक मध्यवर्ती दिशा (उत्तर-पूर्व) में होती है।
उदाहरण 6: सोहन दक्षिण की ओर 4 किमी, फिर पश्चिम की ओर 3 किमी चलता है। वह प्रारंभिक स्थिति से किस दिशा में और कितनी दूरी पर है?
समाधान: दक्षिण 4 किमी और पश्चिम 3 किमी परस्पर लंबवत हैं। त्रिक 3-4-5 से सीधी दूरी 5 किमी है। दिशा दक्षिण-पश्चिम (दक्षिण और पश्चिम के बीच) है। अतः उत्तर दक्षिण-पश्चिम में 5 किमी पर है।
| भुजा 1 | भुजा 2 | कर्ण (सीधी दूरी) |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 6 | 8 | 10 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 9 | 12 | 15 |
| स्थिति | गणना | उदाहरण |
|---|---|---|
| लंबवत दिशाएँ | √(a² + b²) | उत्तर 3, पूर्व 4 → 5 किमी |
| विपरीत दिशाएँ | दूरियों का अंतर | उत्तर 5, दक्षिण 3 → 2 किमी उत्तर |
| दो लंबवत शुद्ध दूरी | √(a² + b²) | उत्तर 6, पूर्व 6 → √72 |
flowchart TD
A[दूरी आधारित दिशा] --> B[सीधी गति]
A --> C[मोड़ वाले प्रश्न]
A --> D[विपरीत दिशाएँ]
A --> E[पाइथागोरस दूरी]
B --> B1[एक दिशा में गति]
C --> C1[बाएँ-दाएँ मोड़ + दूरी]
D --> D1[उत्तर-दक्षिण घटाना]
D --> D2[पूर्व-पश्चिम घटाना]
E --> E1[त्रिक 3-4-5, 6-8-10]
E --> E2[√(a² + b²)]
दूरी आधारित दिशा तर्कशक्ति की वह विधा है जो दिशा ज्ञान और गणितीय दूरी की गणना को एक साथ जोड़ती है। इस अध्याय में हमने सीधी गति, मोड़ वाले प्रश्न, विपरीत दिशाओं की शुद्ध दूरी, पाइथागोरस त्रिक और अंतिम स्थिति-दिशा निर्धारण को उदाहरण सहित समझा। सफलता का आधार सटीक रेखाचित्र बनाना, विपरीत दिशाओं की दूरियों को घटाना और लंबवत दूरियों से पाइथागोरस के द्वारा सीधी दूरी निकालना है। त्रिकों का मुखस्थ ज्ञान गणना को तीव्र कर देता है। नियमित अभ्यास से रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में दूरी आधारित दिशा के प्रश्न शीघ्र और सटीक हल होंगे।