विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (बीजगणित) अध्याय: 3.3 रैखिक समीकरण विषय-वस्तु: एक एवं दो चर वाले रैखिक समीकरण
रैखिक समीकरण (Linear Equation) वह समीकरण है जिसमें चर की अधिकतम घात एक होती है। उदाहरण के लिए 2x + 5 = 13, 3x - 4 = 2x + 6 तथा x + y = 10 रैखिक समीकरण हैं। रैखिक समीकरण में चर की घात 1 होती है, इसीलिए इनका आलेख सदैव एक सरल रेखा होता है। रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में रैखिक समीकरण से सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं जैसे चर का मान ज्ञात करना, दो समीकरणों को हल करना या शब्द समस्याओं को समीकरण बनाकर हल करना।
रैखिक समीकरण दो प्रकार के होते हैं: एक चर वाले रैखिक समीकरण (जैसे ax + b = 0) तथा दो चर वाले रैखिक समीकरण (जैसे ax + by + c = 0)। एक चर वाले समीकरण का एक ही हल होता है, जबकि दो चर वाले समीकरण के अनंत हल होते हैं। दो चर वाले समीकरण को हल करने के लिए कम से कम दो समीकरणों की आवश्यकता होती है, जिन्हें एक साथ हल किया जाता है।
इस अध्याय में हम समीकरण बनाने की प्रक्रिया, चर को एक ओर करके हल करने की विधि, दो चर वाले समीकरणों के हल की विधियाँ जैसे विलोपन विधि और प्रतिस्थापन विधि, तथा इनका उपयोग करने वाले अभ्यास प्रश्नों का अध्ययन करेंगे। समीकरणों की यह समझ ही आगे की शब्द समस्याओं तथा अनुप्रयोग आधारित बीजगणित की नींव है।
एक चर वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप ax + b = 0 है, जहाँ a और b अचर हैं तथा a शून्य नहीं है। ऐसे समीकरण को हल करने के लिए चर पद को एक ओर तथा अचर पदों को दूसरी ओर ले जाते हैं। समीकरण का मूल नियम यह है कि समीकरण के दोनों ओर समान संक्रिया करने पर समीकरण अपरिवर्तित रहता है। पक्ष बदलने पर जोड़-घटाव के चिह्न बदल जाते हैं: जोड़ने वाला घटता है, गुणा करने वाला भाग देता है।
हल किया गया उदाहरण 1: 2x + 5 = 13 में x का मान ज्ञात कीजिए।
2x = 13 - 52x = 8, दोनों ओर 2 से भाग: x = 4।2(4) + 5 = 8 + 5 = 13हल किया गया उदाहरण 2: 5x - 3 = 3x + 7 में x का मान ज्ञात कीजिए।
5x - 3x = 7 + 32x = 10, अतः x = 5।हल किया गया उदाहरण 3: (2x)/3 + 1 = 5 में x का मान ज्ञात कीजिए।
(2x)/3 = 42x = 12, अतः x = 6।हल किया गया उदाहरण 4: यदि 3(x + 2) = 21 हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
3x + 6 = 213x = 15, अतः x = 5।हल किया गया उदाहरण 5: 7x - 2 = 5x + 10 में x का मान ज्ञात कीजिए।
7x - 5x = 10 + 22x = 12, अतः x = 6।दो चर वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप ax + by + c = 0 है। इस प्रकार के समीकरण के अनंत हल होते हैं, क्योंकि प्रत्येक x के लिए एक y प्राप्त होता है। परंतु जब दो स्वतंत्र समीकरण दिए हों, तब x और y के अद्वितीय मान ज्ञात किए जा सकते हैं। दो चर वाले समीकरणों को हल करने की प्रमुख विधियाँ निम्न हैं:
a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0 के लिए x = (b1c2 - b2c1)/(a1b2 - a2b1) तथा y = (c1a2 - c2a1)/(a1b2 - a2b1)।हल किया गया उदाहरण 6: प्रतिस्थापन विधि से x + y = 7 और x - y = 1 को हल कीजिए।
x = 7 - y, दूसरे में रखने पर (7 - y) - y = 17 - 2y = 1, अतः -2y = -6, y = 3।x = 7 - 3 = 4। अतः हल: x = 4, y = 3।हल किया गया उदाहरण 7: विलोपन विधि से 2x + y = 10 और x + y = 6 को हल कीजिए।
(2x + y) - (x + y) = 10 - 6x = 4; तब 4 + y = 6, अतः y = 2।x = 4, y = 2।हल किया गया उदाहरण 8: 3x + 2y = 12 और x - y = 1 को विलोपन विधि से हल कीजिए।
x - y = 1 को 3 से गुणा करने पर 3x - 3y = 3।3x + 2y = 12 से 3x - 3y = 3 घटाने पर 5y = 9, अतः y = 9/5।x - 9/5 = 1 से x = 14/5।हल किया गया उदाहरण 9: x + y = 12 तथा x - y = 4 का हल ज्ञात कीजिए।
2x = 16, अतः x = 8; 8 + y = 12 से y = 4।शब्द समस्याओं में दी गई जानकारी को पहले चरों में व्यक्त करके समीकरण बनाया जाता है। इसके चरण हैं: (1) अज्ञात राशि को x या y मानना, (2) प्रश्न के अनुसार शर्तों को समीकरण के रूप में लिखना, (3) समीकरण को हल करके चर का मान ज्ञात करना, (4) उत्तर की जाँच करना। समीकरण बनाते समय वाक्यों का गणितीय रूप में रूपांतरण आवश्यक है।
हल किया गया उदाहरण 10: किसी संख्या का तीन गुना 5 से बढ़ाने पर 20 प्राप्त होता है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
3x + 5 = 203x = 15, अतः x = 5। वांछित संख्या = 5।हल किया गया उदाहरण 11: दो संख्याओं का योग 40 है तथा उनका अंतर 8 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
x + y = 40 तथा x - y = 8।2x = 48, x = 24; तब y = 40 - 24 = 16।हल किया गया उदाहरण 12: 3 वर्ष पूर्व राम की आयु 12 वर्ष थी। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
x - 3 = 12x = 15। अतः वर्तमान आयु = 15 वर्ष।हल किया गया उदाहरण 13: एक संख्या का दो-तिहाई भाग उसी संख्या से 5 कम है। संख्या ज्ञात कीजिए।
(2/3)x = x - 52x = 3x - 15, अतः x = 15।| समीकरण | चरण | x का मान |
|---|---|---|
| 2x + 5 = 13 | 5 घटाकर 2 से भाग | x = 4 |
| 3x - 7 = 8 | 7 जोड़कर 3 से भाग | x = 5 |
| 5x = 2x + 12 | 2x घटाकर 3 से भाग | x = 4 |
| x/4 + 2 = 5 | 2 घटाकर 4 से गुणा | x = 12 |
| 4(x - 1) = 20 | कोष्ठक खोलकर हल | x = 6 |
| विधि | प्रक्रिया | उदाहरण x + y = 7, x - y = 1 |
|---|---|---|
| प्रतिस्थापन | एक चर का मान दूसरे में रखें | x = 4, y = 3 |
| विलोपन | जोड़/घटाकर एक चर समाप्त करें | x = 4, y = 3 |
| वज्र गुणन | सूत्र से सीधे मान निकालें | x = 4, y = 3 |
| ग्राफ विधि | दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु | (4, 3) |
flowchart TD
A[3.3 रैखिक समीकरण] --> B[एक चर वाला]
A --> C[दो चर वाला]
A --> D[शब्द समस्याएँ]
B --> B1[ax + b = 0]
B --> B2[चर को एक ओर करें]
B --> B3[एक ही हल होता है]
C --> C1[ax + by + c = 0]
C --> C2[प्रतिस्थापन विधि]
C --> C3[विलोपन विधि]
C --> C4[वज्र गुणन विधि]
D --> D1[समीकरण बनाना]
D --> D2[हल करना]
D --> D3[जाँच करना]
2x + 5 = 13 में 5 को बाएँ ले जाने पर 2x = 13 + 5 लिखना गलत है; सही है 2x = 13 - 5।2x = 8 में x निकालने के लिए 2 से भाग देना होता है, न कि 2 घटाना।-(x + 2) को -x + 2 लिखना।रैखिक समीकरण बीजगणित का वह महत्वपूर्ण अध्याय है जो अज्ञात राशियों को ज्ञात करने का आधार प्रदान करता है। एक चर वाले समीकरण का एक अद्वितीय हल होता है, जबकि दो चर वाले दो समीकरणों के हल विलोपन, प्रतिस्थापन अथवा वज्र गुणन विधि से प्राप्त होते हैं। इन विधियों का अभ्यास करने से रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में समीकरणों के प्रश्न शीघ्र और सटीक हल हो जाते हैं। समीकरण बनाने की कला ही शब्द समस्याओं की कुंजी है, अतः इसे विशेष ध्यान से सीखना चाहिए।