विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (बीजगणित) अध्याय: 3.7 अनुप्रयोग आधारित बीजगणित विषय-वस्तु: शब्द समस्याएँ, लागू समीकरण
अनुप्रयोग आधारित बीजगणित में वास्तविक जीवन की परिस्थितियों से संबंधित शब्द समस्याओं (Word Problems) को समीकरण बनाकर हल किया जाता है। रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में ऐसे प्रश्न विशेष रूप से पूछे जाते हैं, जिनमें आयु (Age), दूरी-चाल-समय (Distance-Speed-Time), धन/मूल्य (Money), कार्य (Work) तथा वितरण (Distribution) संबंधी परिस्थितियाँ शामिल होती हैं। इन प्रश्नों में दी गई जानकारी को सबसे पहले समीकरण के रूप में बदलना पड़ता है, इसीलिए इन्हें शब्द समस्याएँ कहा जाता है।
शब्द समस्या को हल करने की विधि के चार मुख्य चरण होते हैं: (1) प्रश्न को ध्यानपूर्वक पढ़कर अज्ञात राशियों को चर मानना, (2) प्रश्न की शर्तों को समीकरणों में बदलना, (3) समीकरणों को हल करके चरों के मान ज्ञात करना, (4) प्राप्त उत्तर को प्रश्न के अनुसार सत्यापित करना। इन चरणों का पालन करने से लगभग हर शब्द समस्या हल हो जाती है।
इस अध्याय में हम आयु संबंधी प्रश्न, दूरी-चाल-समय संबंधी प्रश्न, धन एवं मूल्य संबंधी प्रश्न तथा वितरण व कार्य संबंधी प्रश्नों का विस्तार से अभ्यास करेंगे। आयु संबंधी प्रश्नों में वर्तमान आयु तथा कुछ वर्ष पूर्व/बाद की आयु के बीच संबंध, दूरी-चाल-समय में दूरी = चाल × समय सूत्र तथा धन संबंधी प्रश्नों में कुल मूल्य तथा मात्रा के आधार पर समीकरण बनाए जाते हैं।
आयु संबंधी प्रश्नों में व्यक्तियों की वर्तमान आयु को चर मानकर कुछ वर्ष पूर्व या बाद की आयु के संबंध से समीकरण बनाए जाते हैं। मुख्य तथ्य: यदि वर्तमान आयु x है तो n वर्ष पूर्व आयु (x - n) तथा n वर्ष बाद आयु (x + n) होगी। दो व्यक्तियों की आयु के बीच का अंतर सदैव स्थिर रहता है।
हल किया गया उदाहरण 1: पिता की आयु पुत्र की आयु की तीन गुनी है। 10 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की दुगुनी हो जाएगी। पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
3x + 10 = 2(x + 10)3x + 10 = 2x + 20, अतः x = 10।हल किया गया उदाहरण 2: राम की आयु श्याम से 5 वर्ष अधिक है तथा दोनों की आयु का योग 35 वर्ष है। राम की आयु ज्ञात कीजिए।
x + x + 5 = 352x = 30, x = 15। राम की आयु = 20 वर्ष।हल किया गया उदाहरण 3: 5 वर्ष पूर्व एक व्यक्ति की आयु अपने पुत्र की वर्तमान आयु की दुगुनी थी। यदि पुत्र की वर्तमान आयु 20 वर्ष हो तो व्यक्ति की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
40 + 5 = 45 वर्ष।हल किया गया उदाहरण 4: 3 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु से तीन गुनी होगी। यदि पिता की वर्तमान आयु 42 वर्ष है तो पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
42 + 3 = 3(x + 3)45 = 3x + 9, 3x = 36, अतः x = 12 वर्ष।हल किया गया उदाहरण 5: माँ की आयु पुत्री की आयु की चार गुनी है। 8 वर्ष बाद माँ की आयु पुत्री की दुगुनी हो जाएगी। पुत्री की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
4x + 8 = 2(x + 8)4x + 8 = 2x + 16, 2x = 8, अतः x = 4 वर्ष।दूरी-चाल-समय का मूल सूत्र है: दूरी = चाल × समय। इसमें चाल और समय की इकाइयों का ध्यान रखना आवश्यक है। यदि चाल किलोमीटर प्रति घंटा (km/h) में है तो समय घंटों में तथा दूरी किलोमीटर में होगी। मीटर प्रति सेकंड (m/s) में चाल देने पर समय सेकंडों में होता है। कुल दूरी समान होने पर बिंदु-से-बिंदु के समय और चाल से समीकरण बनाए जाते हैं।
हल किया गया उदाहरण 6: एक गाड़ी 60 km/h की चाल से चलकर 3 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी?
60 × 3 = 180 km।हल किया गया उदाहरण 7: एक ट्रेन 240 km की दूरी 4 घंटे में तय करती है। ट्रेन की चाल ज्ञात कीजिए।
240/4 = 60 km/h।हल किया गया उदाहरण 8: एक साइकिल चालक 15 km/h की चाल से चलकर 45 km की दूरी तय करता है। लगा समय ज्ञात कीजिए।
45/15 = 3 घंटे।हल किया गया उदाहरण 9: एक व्यक्ति 10 km/h की चाल से जाने पर 2 घंटे लगाता है। यदि वह 20 km/h की चाल से चले तो कितना समय लगेगा?
10 × 2 = 20 km। नया समय = 20/20 = 1 घंटा।धन संबंधी प्रश्नों में कुल राशि को व्यक्तियों या मदों में बाँटकर उनके मूल्यों से समीकरण बनाए जाते हैं। वितरण के प्रश्नों में वस्तुओं की संख्या तथा प्रति इकाई मूल्य से कुल मूल्य ज्ञात किया जाता है। कार्य संबंधी प्रश्नों में कार्य की कुल इकाई को नियत मानकर कार्य और समय के संबंध से समीकरण बनाए जाते हैं।
हल किया गया उदाहरण 10: 3000 रुपये को दो व्यक्तियों में इस प्रकार बाँटा जाता है कि एक को दूसरे से 400 रुपये अधिक मिलें। छोटे हिस्से की राशि ज्ञात कीजिए।
x + x + 400 = 3000, 2x = 2600, अतः x = 1300 रुपये।हल किया गया उदाहरण 11: एक पेन का मूल्य 25 रुपये है। 8 पेन का कुल मूल्य ज्ञात कीजिए।
25 × 8 = 200 रुपये।हल किया गया उदाहरण 12: एक कार्य को 10 व्यक्ति 12 दिन में पूरा करते हैं। 15 व्यक्ति उसी कार्य को कितने दिन में पूरा करेंगे?
10 × 12 = 120 व्यक्ति-दिन।120/15 = 8 दिन।हल किया गया उदाहरण 13: किसी वस्तु का मूल्य 50 रुपये है। कुछ वस्तुएँ खरीदने पर कुल 450 रुपये खर्च होते हैं। वस्तुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
450/50 = 9 वस्तुएँ।हल किया गया उदाहरण 14: एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है। परिमाप 40 मीटर है। लंबाई ज्ञात कीजिए।
2(x + x + 4) = 40, 2x + 4 = 20, 2x = 16, x = 8।8 + 4 = 12 मीटर।| प्रकार | मूल सूत्र/संबंध | उदाहरण |
|---|---|---|
| आयु | वर्तमान आयु = x, n वर्ष बाद = x + n | x + 5 वर्ष बाद |
| आयु | आयु का अंतर स्थिर रहता है | पिता - पुत्र = नियत |
| चाल-समय | दूरी = चाल × समय | 60 × 3 = 180 km |
| चाल-समय | चाल = दूरी ÷ समय | 240/4 = 60 km/h |
| धन | कुल राशि = हिस्सों का योग | x + (x + 400) = 3000 |
| कार्य | कुल कार्य = व्यक्ति × दिन | 10 × 12 = 120 |
| कथन | चर मानना | समीकरण |
|---|---|---|
| पिता की आयु पुत्र की तीन गुनी | पुत्र = x | पिता = 3x |
| 10 वर्ष बाद दुगुनी | पुत्र = x | 3x + 10 = 2(x + 10) |
| योग 35 वर्ष | श्याम = x | x + x + 5 = 35 |
| छोटे हिस्से से 400 अधिक | छोटा = x | x + x + 400 = 3000 |
| लंबाई चौड़ाई से 4 अधिक | चौड़ाई = x | 2(2x + 4) = 40 |
flowchart TD
A[3.7 अनुप्रयोग आधारित बीजगणित] --> B[आयु संबंधी]
A --> C[चाल-समय-दूरी]
A --> D[धन एवं मूल्य]
A --> E[कार्य एवं वितरण]
B --> B1[वर्तमान आयु x मानें]
B --> B2[भविष्य/पूर्व आयु x ± n]
C --> C1[दूरी = चाल × समय]
C --> C2[चाल = दूरी/समय]
D --> D1[कुल राशि = हिस्सों का योग]
D --> D2[मात्रा × मूल्य]
E --> E1[कार्य = व्यक्ति × दिन]
E --> E2[परिमाप सूत्र लागू करें]
अनुप्रयोग आधारित बीजगणित वह अध्याय है जो वास्तविक परिस्थितियों को गणितीय समीकरणों से जोड़ता है और रेलवे ग्रुप D परीक्षा में सदैव पूछे जाने वाले शब्द समस्याओं का समाधान प्रस्तुत करता है। आयु, दूरी-चाल-समय, धन-वितरण और कार्य संबंधी प्रश्न सभी सरल समीकरणों द्वारा हल होते हैं। चर मानने, समीकरण बनाने, हल करने और सत्यापित करने की विधि का पालन करने से किसी भी शब्द समस्या का उत्तर शीघ्र प्राप्त होता है। नियमित अभ्यास ही इस अध्याय में पूर्ण सफलता की कुंजी है।