विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (अंकगणित) अध्याय: 2.10 चाल और ट्रेन विषय-वस्तु: ट्रेन व प्लेटफॉर्म, सापेक्ष चाल, उलटना
चाल और ट्रेन का अध्याय 'समय और दूरी' अध्याय का विस्तार है, जिसमें ट्रेन की लंबाई, प्लेटफॉर्म, खंभा, पुल तथा एक दूसरे से गुजरती ट्रेनों के प्रश्न हल किए जाते हैं। यहाँ सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि ट्रेन जब किसी स्थिर वस्तु (खंभा, पोल, व्यक्ति) को पार करती है तो वह केवल अपनी लंबाई के बराबर दूरी तय करती है, परंतु जब वह किसी लंबी वस्तु (प्लेटफॉर्म, पुल) को पार करती है तो ट्रेन की लंबाई और उस वस्तु की लंबाई का योग तय करती है।
इस अध्याय में मुख्यतः तीन प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं — (क) ट्रेन द्वारा खंभा/प्लेटफॉर्म पार करना, (ख) दो ट्रेनों का एक दूसरे को पार करना (विपरीत दिशा), और (ग) एक ही दिशा में चलती ट्रेनों का एक दूसरे को पार करना (उलटना/ओवरटेक करना)। दूसरे और तीसरे प्रकार में सापेक्ष चाल का उपयोग होता है।
सापेक्ष चाल का नियम अत्यंत सरल है — विपरीत दिशा में चलने पर चालें जुड़ती हैं और समान दिशा में चलने पर घटती हैं। रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में इस अध्याय के प्रश्न सीधे इन्हीं दो नियमों पर आधारित होते हैं। लंबाई और चाल की इकाइयों का सही रूपांतरण करने पर हर प्रश्न दो चरणों में हल हो जाता है।
जब ट्रेन किसी खंभे, पोल या खड़े व्यक्ति को पार करती है, तो तय दूरी = ट्रेन की लंबाई। जब ट्रेन किसी प्लेटफॉर्म, पुल या सुरंग को पार करती है, तो तय दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई।
उदाहरण 1 (खंभा): एक ट्रेन 60 किमी/घंटा की चाल से चलते हुए एक खंभे को 18 सेकंड में पार करती है। ट्रेन की लंबाई ज्ञात कीजिए। हल: चाल = 60 × 5/18 = 50/3 मी/सेकंड। दूरी = चाल × समय = (50/3) × 18 = 300 मीटर।
उदाहरण 2 (प्लेटफॉर्म): एक 300 मीटर लंबी ट्रेन 60 किमी/घंटा की चाल से चलती है। वह 300 मीटर लंबे प्लेटफॉर्म को कितने समय में पार करेगी? हल: कुल दूरी = 300 + 300 = 600 मीटर। चाल = 50/3 मी/सेकंड। समय = 600 ÷ (50/3) = 600 × 3/50 = 36 सेकंड।
उदाहरण 3 (लंबाई ज्ञात): एक ट्रेन 90 किमी/घंटा की चाल से 15 सेकंड में एक पोल पार करती है। ट्रेन की लंबाई कितनी है? हल: चाल = 25 मी/सेकंड। लंबाई = 25 × 15 = 375 मीटर।
उदाहरण 4 (पुल): एक 180 मीटर लंबी ट्रेन 108 किमी/घंटा की चाल से 270 मीटर लंबे पुल को कितने समय में पार करेगी? हल: कुल दूरी = 180 + 270 = 450 मीटर। चाल = 30 मी/सेकंड। समय = 450/30 = 15 सेकंड।
उदाहरण 5 (प्लेटफॉर्म की लंबाई): एक ट्रेन 150 मीटर लंबी है और 60 किमी/घंटा की चाल से चलते हुए 24 सेकंड में एक प्लेटफॉर्म पार करती है। प्लेटफॉर्म की लंबाई ज्ञात कीजिए। हल: चाल = 50/3 मी/सेकंड। कुल दूरी = 24 × 50/3 = 400 मीटर। प्लेटफॉर्म की लंबाई = 400 − 150 = 250 मीटर।
जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो सापेक्ष चाल = दोनों चालों का योग। एक दूसरे को पूर्णतः पार करने के लिए तय दूरी = दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग।
उदाहरण 6 (विपरीत दिशा): दो ट्रेनें क्रमशः 54 किमी/घंटा और 90 किमी/घंटा की चाल से विपरीत दिशाओं में चल रही हैं। उनकी लंबाइयाँ 250 और 350 मीटर हैं। वे एक दूसरे को कितने समय में पार करेंगी? हल: सापेक्ष चाल = (54+90) × 5/18 = 144 × 5/18 = 40 मी/सेकंड। कुल दूरी = 600 मीटर। समय = 600/40 = 15 सेकंड।
उदाहरण 7 (समय): दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में 72 और 108 किमी/घंटा की चाल से चल रही हैं। उनकी लंबाइयाँ 300 और 200 मीटर हैं। कितने समय में पार करेंगी? हल: सापेक्ष चाल = (72+108) × 5/18 = 50 मी/सेकंड। कुल दूरी = 500 मीटर। समय = 500/50 = 10 सेकंड।
उदाहरण 8 (लंबाई ज्ञात): दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में 45 और 60 किमी/घंटा की चाल से चलती हैं। वे एक दूसरे को 20 सेकंड में पार करती हैं। पहली ट्रेन 250 मीटर लंबी है, दूसरी की लंबाई ज्ञात कीजिए। हल: सापेक्ष चाल = 105 × 5/18 = 175/6 मी/सेकंड। कुल दूरी = (175/6) × 20 = 583.33 मीटर। दूसरी ट्रेन की लंबाई = 583.33 − 250 = 333.33 मीटर।
जब दो ट्रेनें समान दिशा में चलती हैं, तो सापेक्ष चाल = चालों का अंतर। एक दूसरे को पार करने के लिए तय दूरी = दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग। जब तेज ट्रेन धीमी ट्रेन को पार करती है, तो तेज ट्रेन की चाल में से धीमी ट्रेन की चाल घटाई जाती है।
उदाहरण 9 (समान दिशा): दो ट्रेनें क्रमशः 90 और 45 किमी/घंटा की चाल से एक ही दिशा में चल रही हैं। उनकी लंबाइयाँ 200 और 400 मीटर हैं। तेज ट्रेन धीमी ट्रेन को कितने समय में पार करेगी? हल: सापेक्ष चाल = (90−45) × 5/18 = 12.5 मी/सेकंड। कुल दूरी = 600 मीटर। समय = 600/12.5 = 48 सेकंड।
उदाहरण 10 (समान दिशा): दो ट्रेनें 108 और 72 किमी/घंटा की चाल से एक ही दिशा में चलती हैं। उनकी लंबाइयाँ 360 और 240 मीटर हैं। तेज ट्रेन को धीमी ट्रेन पार करने में कितना समय लगेगा? हल: सापेक्ष चाल = 36 × 5/18 = 10 मी/सेकंड। कुल दूरी = 600 मीटर। समय = 600/10 = 60 सेकंड।
उदाहरण 11 (मिश्रित): एक ट्रेन 72 किमी/घंटा की चाल से चलते हुए 210 मीटर लंबे प्लेटफॉर्म को 20 सेकंड में पार करती है। ट्रेन की लंबाई ज्ञात कीजिए। हल: चाल = 20 मी/सेकंड। कुल दूरी = 400 मीटर। ट्रेन की लंबाई = 400 − 210 = 190 मीटर।
उदाहरण 12 (मिश्रित): एक ट्रेन 90 किमी/घंटा की चाल से एक खंभा 12 सेकंड में और एक पुल 25 सेकंड में पार करती है। पुल की लंबाई ज्ञात कीजिए। हल: चाल = 25 मी/सेकंड। ट्रेन की लंबाई = 25 × 12 = 300 मीटर। कुल दूरी (पुल) = 25 × 25 = 625 मीटर। पुल की लंबाई = 625 − 300 = 325 मीटर।
| स्थिति | तय दूरी |
|---|---|
| ट्रेन × खंभा/पोल | केवल ट्रेन की लंबाई |
| ट्रेन × प्लेटफॉर्म/पुल | ट्रेन + प्लेटफॉर्म की लंबाई |
| ट्रेन × खड़ा व्यक्ति | केवल ट्रेन की लंबाई |
| दो ट्रेनें (एक दूसरे को) | दोनों की लंबाई का योग |
| स्थिति | सापेक्ष चाल | सूत्र |
|---|---|---|
| विपरीत दिशा | चालों का योग | (L1+L2)/(v1+v2) |
| समान दिशा | चालों का अंतर | (L1+L2)/(v1−v2) |
| खंभा पार करना | ट्रेन की चाल | L/v |
| प्लेटफॉर्म पार करना | ट्रेन की चाल | (L+P)/v |
flowchart TD
A[2.10 चाल और ट्रेन] --> B[खंभा पार करना]
A --> C[प्लेटफॉर्म पार करना]
A --> D[सापेक्ष चाल]
A --> E[उलटना समान दिशा]
B --> B1[दूरी = ट्रेन की लंबाई]
C --> C1[दूरी = ट्रेन + प्लेटफॉर्म]
D --> D1[विपरीत दिशा चालों का योग]
D --> D2[समान दिशा चालों का अंतर]
E --> E1[(L1+L2)/(v1−v2)]
चाल और ट्रेन के अध्याय में किसी ट्रेन द्वारा खंभे, प्लेटफॉर्म, पुल तथा अन्य ट्रेनों को पार करने की गणना की जाती है। तय दूरी का नियम तथा सापेक्ष चाल के दो सरल सिद्धांत — विपरीत दिशा में योग और समान दिशा में अंतर — इस अध्याय की रीढ़ हैं। चाल का मी/सेकंड में रूपांतरण करके और लंबाई को सही रूप से जोड़कर रेलवे ग्रुप D के सभी ट्रेन संबंधी प्रश्न सटीक हल किए जा सकते हैं।