4.8 पृष्ठीय क्षेत्रफल

विषय: रेलवे NTPC – गणित (ज्यामिति और क्षेत्रमिति) अध्याय: 4.8 पृष्ठीय क्षेत्रफल विषय-वस्तु: घन घनाभ बेलन शंकु गोला

1. परिचय

पृष्ठीय क्षेत्रफल किसी ठोस (3D) आकृति की बाहरी सतह का कुल क्षेत्रफल होता है। जब हम किसी डिब्बे को कागज में लपेटते हैं, किसी टंकी पर पेंट करते हैं, या किसी गोले को रंगते हैं, तो जितनी सतह ढकी जाती है वही पृष्ठीय क्षेत्रफल है। क्षेत्रफल की तरह पृष्ठीय क्षेत्रफल की इकाई भी वर्ग होती है, जैसे वर्ग मीटर, वर्ग सेमी आदि। रेलवे एनटीपीसी परीक्षा में पेंट, चमड़ा, कागज, रंग आदि से जुड़े प्रश्न पृष्ठीय क्षेत्रफल पर आधारित होते हैं।

पृष्ठीय क्षेत्रफल के दो मुख्य प्रकार होते हैं। पहला वक्र या पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved or Lateral Surface Area), जो ऊपर और नीचे के सिरों को छोड़कर केवल बगल की सतह का क्षेत्रफल होता है। दूसरा कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area), जिसमें सभी सतहें शामिल होती हैं। घन और घनाभ में पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का अर्थ चारों दीवारों का क्षेत्रफल होता है, जबकि बेलन और शंकु में यह वक्र सतह होती है।

गोला एक ऐसा ठोस है जिसमें कोई चपटी सतह नहीं होती, अतः उसके वक्र और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल समान होते हैं। शंकु के प्रश्नों में तिर्यक ऊँचाई (slant height) की गणना करना आवश्यक होता है, जो पाइथागोरस प्रमेय से निकाली जाती है। इस अध्याय में हम घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला और अर्धगोला के पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र, हल किए गए उदाहरण, तालिकाएँ तथा परीक्षा में उपयोगी युक्तियाँ सीखेंगे।

2. घन, घनाभ एवं बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल

घन, घनाभ और बेलन की सतहें चपटी या वक्र होती हैं। इनके सूत्र निम्न प्रकार हैं:

• घन: यदि भुजा a हो, तो पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) = 4a² तथा कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 6a²। घन का विकर्ण = a√3।
• घनाभ: यदि लंबाई l, चौड़ाई b और ऊँचाई h हो, तो LSA = 2h(l + b) तथा TSA = 2(lb + bh + hl)। घनाभ का विकर्ण = √(l² + b² + h²)।
• बेलन: यदि त्रिज्या r और ऊँचाई h हो, तो वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πrh तथा TSA = 2πr(r + h) = वक्र पृष्ठ + 2 वृत्ताकार सिरे।
• खोखला बेलन: यदि बाहरी त्रिज्या R और आंतरिक त्रिज्या r हो, तो TSA = 2π(R + r)(R − r + h)।

उदाहरण 1: एक घन की भुजा 6 सेमी है। घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

• हल: TSA = 6a² = 6 × 6 × 6 = 216 वर्ग सेमी।

उदाहरण 2: एक घनाभ की विमाएँ 12 सेमी, 8 सेमी और 6 सेमी हैं। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

• हल: TSA = 2(lb + bh + hl) = 2(12×8 + 8×6 + 6×12) = 2(96 + 48 + 72) = 2 × 216 = 432 वर्ग सेमी।

उदाहरण 3: एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

• हल: CSA = 2πrh = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 वर्ग सेमी।

उदाहरण 4: एक कमरे की लंबाई 10 मीटर, चौड़ाई 8 मीटर और ऊँचाई 5 मीटर है। चारों दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

• हल: चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l + b) = 2 × 5 × (10 + 8) = 10 × 18 = 180 वर्ग मीटर।

उदाहरण 5: एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 14 सेमी है। बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

• हल: TSA = 2πr(r + h) = 2 × (22/7) × 7 × (7 + 14) = 2 × 22 × 21 = 924 वर्ग सेमी।

जब घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दिया हो तो भुजा = √(TSA/6) होती है। उदाहरण के लिए यदि TSA = 384 वर्ग सेमी है, तो a² = 384/6 = 64, अतः भुजा a = 8 सेमी। यह उल्टा सूत्र एनटीपीसी में बार-बार पूछा जाता है।

3. शंकु, गोला एवं अर्धगोला का पृष्ठीय क्षेत्रफल

शंकु, गोला और अर्धगोला के पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्रों में वक्र सतह का विशेष ध्यान रखना पड़ता है। मुख्य सूत्र:

• शंकु: तिर्यक ऊँचाई l = √(h² + r²) होती है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल CSA = πrl तथा कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल TSA = πr(l + r)।
• गोला: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल TSA = 4πr²। गोले की कोई चपटी सतह नहीं होती, अतः CSA = TSA।
• अर्धगोला: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल CSA = 2πr² तथा कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल TSA = 3πr² (वक्र सतह 2πr² + चपटा वृत्ताकार आधार πr²)।
• गोले की सतह (पेंट/रंग): यदि एक घनमीटर क्षेत्रफल पर रंग की आवश्यकता ज्ञात हो, तो कुल लागत = TSA × दर।

उदाहरण 6: एक शंकु की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। शंकु की तिर्यक ऊँचाई तथा वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

• हल: l = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 सेमी। CSA = πrl = π × 3 × 5 = 15π वर्ग सेमी।

उदाहरण 7: एक गोले की त्रिज्या 7 सेमी है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

• हल: TSA = 4πr² = 4 × (22/7) × 7 × 7 = 4 × 22 × 7 = 616 वर्ग सेमी।

उदाहरण 8: एक अर्धगोले की त्रिज्या 7 सेमी है। उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

• हल: TSA = 3πr² = 3 × (22/7) × 49 = 3 × 154 = 462 वर्ग सेमी।

उदाहरण 9: एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 15 सेमी है। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

• हल: TSA = πr(l + r) = (22/7) × 7 × (15 + 7) = 22 × 22 = 484 वर्ग सेमी।

उदाहरण 10: एक बेलनाकार टंकी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 440 वर्ग मीटर और ऊँचाई 10 मीटर है। टंकी की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

• हल: 2πrh = 440 ⇒ 2 × (22/7) × r × 10 = 440 ⇒ r = 440 × (7/440) = 7 मीटर।

शंकु के प्रश्नों में तिर्यक ऊँचाई निकालने में ऊँचाई और त्रिज्या में भ्रम होता है। हमेशा l = √(h² + r²) याद रखें। जब शंकु का व्यास दिया हो, तो पहले त्रिज्या निकालें, फिर तिर्यक ऊँचाई ज्ञात करें।

4. पृष्ठीय क्षेत्रफल से विमाएँ निकालना

परीक्षा में अक्सर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दिया होता है और भुजा, त्रिज्या या ऊँचाई पूछी जाती है। इन उल्टे प्रश्नों के लिए सूत्रों को उलटना आवश्यक है:

• घन से भुजा: भुजा = √(TSA/6)। यदि TSA = 150, तो a = √25 = 5 सेमी।
• घनाभ से ऊँचाई: यदि TSA, l और b ज्ञात हों, तो पहले lb निकालें, फिर TSA = 2(lb + h(l + b)) से h ज्ञात करें।
• बेलन से त्रिज्या: CSA = 2πrh में CSA और h दिए होने पर r = CSA/(2πh)।
• गोले से त्रिज्या: r = √(TSA/4π)।
• अर्धगोले से त्रिज्या: r = √(TSA/3π)।

उदाहरण 11: एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 384 वर्ग सेमी है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए।

• हल: 6a² = 384 ⇒ a² = 64 ⇒ a = 8 सेमी।

उदाहरण 12: एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 वर्ग सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

• हल: 2πrh = 308 ⇒ 2 × (22/7) × r × 7 = 308 ⇒ 44r = 308 ⇒ r = 7 सेमी।

उदाहरण 13: एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1386 वर्ग सेमी है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

• हल: 4πr² = 1386 ⇒ r² = 1386 × (7/88) = 110.25 ⇒ r = 10.5 सेमी। यहाँ 1386/88 = 15.75 तथा 15.75 × 7 = 110.25 प्राप्त होता है।

उदाहरण 14: एक बेलनाकार टिन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 968 वर्ग सेमी और त्रिज्या 7 सेमी है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

• हल: 2πr(r + h) = 968 ⇒ 2 × (22/7) × 7 × (7 + h) = 968 ⇒ 44(7 + h) = 968 ⇒ 7 + h = 22 ⇒ h = 15 सेमी।

पेंट, रंग या लपेटने से जुड़े प्रश्नों में कई बार केवल वक्र सतह या केवल दीवारों का क्षेत्रफल पूछा जाता है। प्रश्न को ध्यान से पढ़कर तय करें कि CSA, LSA या TSA में से कौन सा निकालना है, क्योंकि सूत्र और उत्तर दोनों अलग होंगे।

5. त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएँ

तालिका 1: चपटे ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल

ठोस	पार्श्व/वक्र (LSA/CSA)	कुल (TSA)	विकर्ण/तिर्यक ऊँचाई
घन (भुजा a)	4a²	6a²	a√3
घनाभ (l, b, h)	2h(l + b)	2(lb + bh + hl)	√(l² + b² + h²)
बेलन (r, h)	2πrh	2πr(r + h)	—
शंकु (r, l, h)	πrl	πr(l + r)	l = √(h² + r²)

तालिका 2: गोला एवं अर्धगोला का पृष्ठीय क्षेत्रफल

ठोस	वक्र (CSA)	कुल (TSA)
गोला (r)	4πr²	4πr²
अर्धगोला (r)	2πr²	3πr²
खोखला गोला (R, r)	4π(R² + r²)	4π(R² + r²)
अर्धगोले का आधार	πr²	आधार + वक्र सतह

6. माइंड मैप

flowchart TD
    A[4.8 पृष्ठीय क्षेत्रफल] --> B[चपटे ठोस]
    A --> C[वक्र ठोस]
    A --> D[उल्टे प्रश्न]
    B --> B1[घन 6a²]
    B --> B2[घनाभ 2(lb+bh+hl)]
    B --> B3[बेलन 2πr(r+h)]
    C --> C1[शंकु πr(l+r)]
    C --> C2[गोला 4πr²]
    C --> C3[अर्धगोला 3πr²]
    D --> D1[भुजा √(TSA/6)]
    D --> D2[त्रिज्या √(TSA/4π)]
    D --> D3[CSA से r निकालना]
    A --> E[प्रयोग]
    E --> E1[पेंट का खर्च]
    E --> E2[कागज से लपेटना]
    E --> E3[चारों दीवारें 2h(l+b)]

7. महत्वपूर्ण आरेख (SVG)

8. सामान्य गलतियाँ

1. घन और घनाभ के सूत्र मिलाना: घन में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं (6a²), जबकि घनाभ में 2(lb + bh + hl) लगता है। दोनों को अलग-अलग याद रखें।
2. बेलन के TSA में सिरे जोड़ना भूलना: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh है, लेकिन कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr(r + h) होता है, जिसमें दो वृत्ताकार सिरे शामिल हैं।
3. शंकु में ऊँचाई को तिर्यक ऊँचाई समझना: तिर्यक ऊँचाई l = √(h² + r²) होती है। सामान्य ऊँचाई (h) और तिर्यक ऊँचाई (l) में अंतर रखें।
4. अर्धगोले का TSA: अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 3πr² है, 2πr² नहीं। 2πr² केवल वक्र सतह है, आधार πr² अलग से जोड़ना पड़ता है।
5. गोले का सूत्र: गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr² होता है; कई छात्र इसे 3πr² लिख देते हैं जो अर्धगोले का TSA है।
6. पेंट/रंग वाले प्रश्नों में दर से गुणा भूलना: पेंट की कुल लागत = पृष्ठीय क्षेत्रफल × प्रति इकाई दर। कई प्रश्नों में कुल खर्च पूछा जाता है, केवल क्षेत्रफल नहीं।
7. इकाई रूपांतरण की उपेक्षा: यदि माप मीटर में और रंग की दर वर्ग सेमी पर दी हो, तो पहले इकाइयाँ समान करें, अन्यथा उत्तर गलत होगा।

9. परीक्षा युक्तियाँ

1. पहले ठोस की पहचान करें: प्रश्न पढ़कर निर्धारित करें कि घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला या अर्धगोला में से कौन सा ठोस है और कौन सा सूत्र लागू होगा।
2. CSA या TSA का चयन: जब सिरे बंद हों (जैसे बंद टिन) तो TSA लें, जब खुले सिरे हों (जैसे खुली टंकी) तो CSA या सिरों को छोड़कर गणना करें।
3. 7 के गुणज वाली त्रिज्या पर π = 22/7: त्रिज्या 7, 14, 21 आदि होने पर 22/7 लेने से हल सरल और पूर्णांक में आता है।
4. शंकु में पहले तिर्यक ऊँचाई: शंकु के सूत्रों में l आवश्यक होता है; हमेशा पहले l = √(h² + r²) निकालें।
5. चारों दीवारों वाले प्रश्न: कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l + b) होता है; इसमें फर्श और छत शामिल नहीं होते। यदि छत भी लगानी हो तो l × b अलग से जोड़ें।
6. उल्टे सूत्र याद रखें: घन की भुजा = √(TSA/6), गोले की त्रिज्या = √(TSA/4π), अर्धगोले की त्रिज्या = √(TSA/3π)।
7. व्यास से त्रिज्या: प्रश्न में व्यास दिया हो तो पहले उसे 2 से भाग देकर त्रिज्या निकालें, क्योंकि सभी सूत्र त्रिज्या में हैं।

10. निष्कर्ष

पृष्ठीय क्षेत्रफल 3D आकृतियों की सतहों से संबंधित महत्वपूर्ण विषय है, जिससे एनटीपीसी में पेंट, रंग, लपेटने, चमड़ा आदि से जुड़े प्रश्न पूछे जाते हैं। घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला और अर्धगोला के वक्र तथा कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्रों को समझकर और उल्टे प्रश्नों का अभ्यास करके इनमें अंक सुरक्षित किए जा सकते हैं।