विषय: रेलवे NTPC – गणित (संख्या पद्धति) अध्याय: 1.6 BODMAS और सरलीकरण विषय-वस्तु: कोष्ठक नियम, सरलीकरण
सरलीकरण (Simplification) गणित का वह अध्याय है जिसमें दिए गए गणितीय व्यंजक को नियमों के अनुसार सरलतम रूप में हल किया जाता है। एनटीपीसी परीक्षा में सरलीकरण के प्रश्न लगभग हमेशा पूछे जाते हैं, और इन्हें हल करने की कुंजी है BODMAS नियम। BODMAS संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है, जिसका पालन न करने पर उत्तर हमेशा गलत आता है। इसलिए इस अध्याय में सबसे पहले BODMAS का अर्थ और उसका क्रम समझना आवश्यक है।
BODMAS का पूर्ण रूप है: Bracket (कोष्ठक), Of (का), Division (भाग), Multiplication (गुणा), Addition (जोड़), Subtraction (घटाव)। इस क्रम के अनुसार पहले कोष्ठकों को हल किया जाता है, फिर 'का' की संक्रिया, फिर भाग, फिर गुणा, फिर जोड़ और अंत में घटाव। इसके अलावा, कोष्ठकों के भी तीन प्रकार होते हैं जिन्हें निश्चित क्रम में हल किया जाता है।
सरलीकरण में दशमलव, भिन्न, घातांक और वर्गमूल आदि सभी मिलकर आते हैं। इसलिए इस अध्याय में दक्षता पाने के लिए पिछले अध्यायों की अच्छी पकड़ आवश्यक है। अभ्यर्थी को सलाह दी जाती है कि वह प्रत्येक चरण को क्रमबद्ध रूप से लिखे और जल्दबाजी न करे, क्योंकि सरलीकरण के प्रश्नों में सबसे अधिक गलतियाँ संक्रियाओं के क्रम में की जाती हैं।
BODMAS नियम गणितीय संक्रियाओं को हल करने का सही क्रम बताता है। इसका विस्तृत रूप निम्नलिखित है:
B - Bracket (कोष्ठक): सबसे पहले कोष्ठकों को हल करें। कोष्ठकों के तीन प्रकार हैं और उनका क्रम भी निश्चित है: - विनकुलम ( ) या बार कोष्ठक: सबसे पहले हल होता है। जैसे 5 + (6 - 3) में पहले 6 - 3 = 3। - छोटा कोष्ठक ( ): दूसरे क्रम में हल होता है। - मध्यम कोष्ठक { }: तीसरे क्रम में हल होता है। - बड़ा कोष्ठक [ ]: सबसे अंत में हल होता है।
O - Of (का): कोष्ठकों के बाद 'Of' की संक्रिया करें। 'Of' का अर्थ गुणा ही है, परंतु इसे BODMAS में गुणा से पहले किया जाता है। जैसे 2 Of 3 = 6।
D - Division (भाग): उसके बाद भाग की संक्रिया करें।
M - Multiplication (गुणा): फिर गुणा की संक्रिया करें।
A - Addition (जोड़): उसके बाद जोड़ करें।
S - Subtraction (घटाव): सबसे अंत में घटाव करें।
महत्वपूर्ण बिंदु: - भाग और गुणा, तथा जोड़ और घटाव समान स्तर की संक्रियाएँ हैं। समान स्तर की संक्रियाएँ बाएं से दाएं क्रम में हल की जाती हैं। - कोष्ठकों के अंदर भी BODMAS के क्रम का ही पालन होता है। - कोष्ठक के बाहर लिखी संख्या को कोष्ठक के अंदर की प्रत्येक संख्या से गुणा किया जाता है। जैसे 3(4 + 2) = 3 × 6 = 18।
उदाहरण 1: 15 + 5 × 2 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: BODMAS के अनुसार पहले गुणा करें: 5 × 2 = 10। फिर जोड़ करें: 15 + 10 = 25। ध्यान दें कि बाएं से दाएं जाने पर 15 + 5 = 20 और 20 × 2 = 40 गलत होगा। उत्तर: 25
उदाहरण 2: 36 ÷ 6 × 3 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: भाग और गुणा समान स्तर की संक्रियाएँ हैं, इसलिए बाएं से दाएं हल करें: 36 ÷ 6 = 6, फिर 6 × 3 = 18। उत्तर: 18
उदाहरण 3: 10 + 2 × (12 ÷ 4 - 1) का मान ज्ञात कीजिए।
हल: पहले कोष्ठक को हल करें: 12 ÷ 4 = 3, फिर 3 - 1 = 2। अब व्यंजक: 10 + 2 × 2 = 10 + 4 = 14। उत्तर: 14
कोष्ठकों को हल करते समय कोष्ठक के बाहर का चिह्न और कोष्ठक के अंदर के पदों के चिह्नों के संबंध को ध्यान में रखना चाहिए:
कोष्ठक खोलने के नियम: - यदि कोष्ठक के बाहर धनात्मक (+) चिह्न है, तो कोष्ठक खोलने पर अंदर के चिह्न नहीं बदलते। जैसे a + (b - c) = a + b - c। - यदि कोष्ठक के बाहर ऋणात्मक (-) चिह्न है, तो कोष्ठक खोलने पर अंदर के चिह्न बदल जाते हैं। जैसे a - (b - c) = a - b + c। - यदि कोष्ठक के बाहर कोई संख्या गुणा के रूप में लगी है, तो उसे अंदर की प्रत्येक संख्या से गुणा करें। जैसे 2(x + y) = 2x + 2y।
सरलीकरण की विधि: - सबसे पहले सभी कोष्ठकों को उनके निर्धारित क्रम में हल करें। - 'Of' की संक्रिया करें। - भाग और गुणा को बाएं से दाएं करें। - जोड़ और घटाव को बाएं से दाएं करें। - अंतिम उत्तर को सरलतम रूप में लिखें।
व्यंजकों में सामान्य सूत्र: - (a + b)² = a² + 2ab + b² - (a - b)² = a² - 2ab + b² - a² - b² = (a + b)(a - b) - (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ - a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) - a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
उदाहरण 4: 20 - [15 - (6 - 2)] का मान ज्ञात कीजिए।
हल: सबसे पहले सबसे अंदर का कोष्ठक: 6 - 2 = 4। अब व्यंजक: 20 - [15 - 4]। अब बड़ा कोष्ठक: 15 - 4 = 11। अब 20 - 11 = 9। उत्तर: 9
उदाहरण 5: 48 ÷ 6 of 2 + 5 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: BODMAS के अनुसार पहले 'Of' करें: 6 of 2 = 12। अब व्यंजक: 48 ÷ 12 + 5। भाग करें: 48 ÷ 12 = 4। फिर जोड़ें: 4 + 5 = 9। उत्तर: 9
उदाहरण 6: 25 - 5 × (10 - 6) ÷ 2 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: कोष्ठक: 10 - 6 = 4। व्यंजक: 25 - 5 × 4 ÷ 2। बाएं से दाएं: 5 × 4 = 20, फिर 20 ÷ 2 = 10। अब 25 - 10 = 15। उत्तर: 15
सरलीकरण के प्रश्नों में दशमलव, भिन्न और घातांक का मिश्रण अक्सर पाया जाता है। ऐसे प्रश्नों में BODMAS के क्रम का पालन करते हुए भिन्नों के LCM और दशमलव के नियमों का प्रयोग किया जाता है।
भिन्न वाले सरलीकरण: - कोष्ठक के अंदर की भिन्नों को पहले सरल करें। - 'Of' को गुणा की तरह हल करें। - भाग में व्युत्क्रम लेकर गुणा करें।
दशमलव वाले सरलीकरण: - दशमलव को भिन्न में बदलकर हल करना अधिक सुविधाजनक होता है। - दशमलव बिंदु की स्थिति का ध्यान रखें।
घातांक वाले सरलीकरण: - a^m × a^n = a^(m + n) - a^m ÷ a^n = a^(m - n) - (a^m)^n = a^(m × n) - a^0 = 1 - a^1 = a
महत्वपूर्ण नियम: बड़े सरलीकरण प्रश्नों में पहले कोष्ठक को हल करना, फिर क्रमशः संक्रियाएँ करना ही सही उत्तर देता है। किसी भी चरण को छोड़कर सीधे उत्तर पर पहुंचने का प्रयास गलत होता है।
उदाहरण 7: (1/2 + 1/4) × 8 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: कोष्ठक: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4। अब 3/4 × 8 = 24/4 = 6। उत्तर: 6
उदाहरण 8: 0.5 + 0.5 × 0.5 ÷ 0.5 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: BODMAS: पहले 0.5 ÷ 0.5 = 1, फिर 1 × 0.5 = 0.5, फिर 0.5 + 0.5 = 1.0। उत्तर: 1
उदाहरण 9: 2³ × 2² ÷ 2⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: घातांक नियम: 2³ × 2² = 2⁵, फिर 2⁵ ÷ 2⁴ = 2¹ = 2। उत्तर: 2
उदाहरण 10: 100 ÷ 5 of 2 + 10 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: पहले 'Of': 5 of 2 = 10। फिर भाग: 100 ÷ 10 = 10। फिर जोड़: 10 + 10 = 20। उत्तर: 20
| अक्षर | संक्रिया | उदाहरण | क्रम |
|---|---|---|---|
| B | कोष्ठक | ( ), { }, [ ] | पहले |
| O | Of | 2 of 3 = 6 | दूसरे |
| D | भाग | 12 ÷ 4 | तीसरे |
| M | गुणा | 5 × 3 | चौथे |
| A | जोड़ | 7 + 5 | पांचवें |
| S | घटाव | 9 - 4 | छठे |
| नियम | सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|
| गुणा | a^m × a^n = a^(m+n) | 2³ × 2² = 2⁵ |
| भाग | a^m ÷ a^n = a^(m-n) | 2⁵ ÷ 2³ = 2² |
| घात की घात | (a^m)^n = a^(mn) | (2²)³ = 2⁶ |
| शून्य घात | a^0 = 1 | 5⁰ = 1 |
| ऋणात्मक घात | a^(-m) = 1/a^m | 2⁻² = 1/4 |
flowchart TD
A[BODMAS और सरलीकरण] --> B[कोष्ठक]
A --> C[Of की संक्रिया]
A --> D[भाग और गुणा]
A --> E[जोड़ और घटाव]
A --> F[घातांक]
B --> B1[विनकुलम]
B --> B2[छोटा कोष्ठक]
B --> B3[मध्यम कोष्ठक]
B --> B4[बड़ा कोष्ठक]
D --> D1[बाएं से दाएं]
E --> E1[बाएं से दाएं]
F --> F1[a^m × a^n]
F --> F2[a^m ÷ a^n]
सरलीकरण एनटीपीसी परीक्षा का वह अध्याय है जो प्रत्येक प्रश्नपत्र में निश्चित रूप से पूछा जाता है और सही क्रम में संक्रियाएँ करने पर ये प्रश्न अत्यंत सरल हो जाते हैं। इस अध्याय में हमने BODMAS का पूर्ण नियम, कोष्ठकों का क्रम, 'Of' की संक्रिया, तथा दशमलव, भिन्न और घातांक वाले सरलीकरण के उदाहरण सीखे। नियमित अभ्यास से सरलीकरण में गति और सटीकता दोनों प्राप्त होती है। अभ्यर्थी को चाहिए कि वह प्रतिदिन विभिन्न कठिनाई स्तर के सरलीकरण के प्रश्न हल करे और प्रत्येक चरण को लिखकर स्वयं को प्रशिक्षित करे, ताकि परीक्षा में समय बचाकर सही उत्तर दिया जा सके।