विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: गणित – अंकगणित विषय-वस्तु: 2.1 अनुपात और समानुपात
अनुपात (Ratio) दो समान प्रकार की राशियों की तुलना है, जिसे a : b के रूप में लिखा जाता है। यदि किसी कार्यशाला में 8 पहिए और 2 इंजन हैं, तो पहियों और इंजनों का अनुपात 8 : 2 अर्थात 4 : 1 है। समानुपात (Proportion) तब होता है जब दो अनुपात बराबर हों, अर्थात a : b = c : d हो, तब a, b, c, d समानुपाती कहलाते हैं। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा में अनुपात-समानुपात से प्रत्येक वर्ष 2 से 3 प्रश्न आते हैं। रेलवे में मशीनों की गति, गियर अनुपात, ईंधन-मात्रा अनुपात जैसे अनेक व्यावहारिक प्रश्न इसी पर आधारित होते हैं।
अनुपात हमेशा समान इकाइयों में ही निकाला जाता है। अनुपात को सरलतम रूप में व्यक्त करना आवश्यक है। अनुपात a : b का मान a/b के बराबर होता है। समानुपात a : b :: c : d में, a और d को बाह्य पद तथा b और c को मध्य पद कहते हैं। समानुपात का मूल गुणधर्म — बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल, अर्थात a × d = b × c। इस गुणधर्म का प्रयोग अज्ञात पद ज्ञात करने में होता है।
इस अध्याय में हम अनुपात की अवधारणा, अनुपात को सरल करना, समानुपात का गुणधर्म, तृतीयानुपाती और चतुर्थानुपाती, मिश्रित अनुपात, मिश्रण-संबंधी प्रश्न तथा साझा (विभाजन) से संबंधित प्रश्नों का अध्ययन करेंगे। वितरण (अनुपात में बँटवारा) के प्रश्न परीक्षा में सबसे अधिक पूछे जाते हैं।
अनुपात a : b को सरल करने के लिए दोनों पदों को उनके HCF से भाग दिया जाता है। किसी राशि को दिए गए अनुपात में बाँटने के लिए कुल योग और भागों का योग से अनुपात निकाला जाता है।
उदाहरण 1: 24 : 36 को सरलतम रूप में लिखिए।
हल: 24 और 36 का HCF = 12। दोनों को 12 से भाग दें — 24/12 = 2, 36/12 = 3। अतः सरलतम रूप 2 : 3 है।
उदाहरण 2: ₹1200 को A और B में 3 : 5 के अनुपात में बाँटिए।
हल: कुल भाग = 3 + 5 = 8। A का भाग = 1200 × 3/8 = ₹450। B का भाग = 1200 × 5/8 = ₹750। अतः A को ₹450 और B को ₹750 मिलेंगे।
समानुपात a : b = c : d में यदि तीन पद ज्ञात हों, तो चौथा पद a × d = b × c से ज्ञात किया जाता है। तृतीयानुपाती — a : b :: b : x हो तो x = b²/a। चतुर्थानुपाती — a : b :: c : x हो तो x = bc/a। माध्यानुपाती — a : x :: x : b हो तो x = √(ab)।
उदाहरण 3: समानुपात 4 : 9 :: 12 : x में x का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 4 × x = 9 × 12 → 4x = 108 → x = 27। अतः x = 27 है।
उदाहरण 4: 6 और 24 का माध्यानुपाती ज्ञात कीजिए।
हल: माध्यानुपाती = √(6 × 24) = √144 = 12। अतः उत्तर 12 है।
मिश्रित अनुपात (Compound Ratio) दो या अधिक अनुपातों के संगत पदों के गुणनफल से बनता है। a : b और c : d का मिश्रित अनुपात ac : bd होता है। मिश्रण के प्रश्नों में विभिन्न अनुपातों की वस्तुओं को मिलाकर नया अनुपात ज्ञात किया जाता है।
उदाहरण 5: अनुपात 2 : 3 और 4 : 5 का मिश्रित अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल: मिश्रित अनुपात = (2 × 4) : (3 × 5) = 8 : 15। अतः उत्तर 8 : 15 है।
उदाहरण 6: 40 लीटर मिश्रण में दूध और पानी 3 : 2 में हैं। मिश्रण में कितना दूध है?
हल: कुल भाग = 3 + 2 = 5। दूध = 40 × 3/5 = 24 लीटर। पानी = 40 × 2/5 = 16 लीटर। अतः दूध 24 लीटर है।
| संकल्पना | परिभाषा / सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|
| अनुपात | a : b = a/b | 4 : 9 = 4/9 |
| समानुपात | a : b = c : d | 4 : 9 :: 12 : 27 |
| समानुपात गुणधर्म | a × d = b × c | 4 × 27 = 9 × 12 |
| तृतीयानुपाती | b²/a | 6, 18 का → 54 |
| माध्यानुपाती | √(ab) | 6, 24 का → 12 |
| चतुर्थानुपाती | bc/a | 4, 9, 12 का → 27 |
| स्थिति | सूत्र |
|---|---|
| राशि R को a : b में बाँटना | पहला = R × a/(a + b) |
| दूसरा भाग | R × b/(a + b) |
| मिश्रित अनुपात | a : b × c : d = ac : bd |
| भिन्नों का अनुपात | a/b : c/d = ad : bc |
flowchart TD
A[अनुपात और समानुपात] --> B[अनुपात]
A --> C[समानुपात]
A --> D[मिश्रित अनुपात]
A --> E[वितरण]
A --> F[मिश्रण]
B --> B1[a : b = a/b]
B --> B2[HCF से सरल]
C --> C1[a : b :: c : d]
C --> C2[a × d = b × c]
C --> C3[माध्यानुपाती √(ab)]
D --> D1[ac : bd]
E --> E1[R × a/(a+b)]
F --> F1[भाग निकालकर]
अनुपात और समानुपात अंकगणित का महत्वपूर्ण अध्याय है जो प्रतिशत, औसत और लाभ-हानि को समझने का आधार तैयार करता है। इस अध्याय में हमने अनुपात को सरल करना, समानुपात का मूल गुणधर्म, तृतीय-चतुर्थ-माध्यानुपाती, मिश्रित अनुपात तथा अनुपात में वितरण की विधि सीखी। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा में वितरण और मिश्रण के प्रश्न नियमित रूप से पूछे जाते हैं। अनुपात की दृढ़ पकड़ गियर अनुपात और ईंधन मिश्रण जैसे टेक्नीशियन-विशेष प्रश्नों को भी सरल बनाती है। नियमित अभ्यास से विद्यार्थी इन प्रश्नों को शीघ्रता और पूर्ण सटीकता से हल कर सकता है।