विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: तर्कशक्ति – श्रृंखला और समानता विषय-वस्तु: 6.4 लुप्त श्रृंखला
लुप्त श्रृंखला (Missing Series) तर्कशक्ति का वह भाग है जिसमें संख्याओं, अक्षरों या चिह्नों की श्रृंखला में एक या अधिक पद लुप्त होते हैं। लुप्त पदों को प्रश्नचिह्न (?) द्वारा दर्शाया जाता है और अभ्यर्थी को श्रृंखला के नियम को पहचानकर उन लुप्त पदों को भरना होता है। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा में लुप्त पद वाले प्रश्न 2 से 3 की संख्या में आते हैं। ये प्रश्न श्रृंखला की पूर्ण समझ की परीक्षा लेते हैं, क्योंकि लुप्त पद श्रृंखला के आरंभ, मध्य या अंत में कहीं भी हो सकता है।
लुप्त श्रृंखला के प्रश्नों में सबसे कठिन स्थिति तब होती है जब लुप्त पद श्रृंखला के मध्य में होता है। ऐसे में हमें श्रृंखला के दोनों छोरों से नियम की पुष्टि करनी पड़ती है। यदि श्रृंखला आरंभ में लुप्त है तो पिछले पदों से नियम ज्ञात करके उल्टे क्रम में चलना पड़ता है। कभी-कभी दो लुप्त पद दिए होते हैं और कभी एक गलत पद होता है जिसे पहचानकर बदलना होता है। इन सभी विविधताओं के लिए श्रृंखला के मूल नियमों में पूर्ण निपुणता आवश्यक है।
इस अध्याय में हम लुप्त पदों को भरने की चरणबद्ध विधि, आरंभ-मध्य-अंत में लुप्त पदों की रणनीति, गलत पद की पहचान और अक्षर-संख्या मिश्रित लुप्त पदों का अध्ययन करेंगे। हल किए गए उदाहरणों, पुनरावृत्ति तालिकाओं और माइंड मैप के माध्यम से हम इस विषय में पूर्ण दक्षता प्राप्त करेंगे। सामान्य त्रुटियों और परीक्षा युक्तियों की सहायता से हम परीक्षा में सटीक और तीव्र उत्तर देंगे।
लुप्त श्रृंखला को हल करने के लिए निम्न चरणों का पालन करें।
चरण 1: श्रृंखला में लुप्त पद की स्थिति देखें — आरंभ, मध्य या अंत। यदि लुप्त पद मध्य में है तो दोनों ओर के पदों का उपयोग करें।
चरण 2: ज्ञात पदों के बीच अंतर या अनुपात का पैटर्न पहचानें। लुप्त पद के दोनों ओर के अंतरों से नियम की पुष्टि करें।
चरण 3: मिले नियम को पूरी श्रृंखला पर लागू करके सत्यापित करें।
चरण 4: गलत पद वाले प्रश्न में नियम से वास्तविक श्रृंखला बनाएँ और बेमेल पद चुनें।
उदाहरण 1: 2, 6, ?, 30, 62 में लुप्त पद ज्ञात कीजिए।
हल: नियम ×2 + 2 है (2×2+2 = 6, 6×2+2 = 14, 14×2+2 = 30, 30×2+2 = 62)। अतः लुप्त पद 14 है। सत्यापन: 14×2+2 = 30 सही है।
उदाहरण 2: 5, ?, 20, 40, 80 में लुप्त पद ज्ञात कीजिए।
हल: नियम ×2 है। पीछे से देखें — 80 ÷ 2 = 40, 40 ÷ 2 = 20, 20 ÷ 2 = 10। अतः लुप्त पद 10 है। सत्यापन: 5 × 2 = 10 सही है।
आरंभ का लुप्त पद: जब लुप्त पद श्रृंखला के आरंभ में हो, तो पीछे से नियम लगाकर उल्टे क्रम में चलें। उदाहरण के लिए ?, 9, 16, 25, 36 में आगे वर्गों का क्रम है — 3², 4², 5², 6²। अतः आरंभ का पद 4 = 2² होगा।
मध्य का लुप्त पद: जब लुप्त पद मध्य में हो, तो लुप्त पद के आगे-पीछे के अंतरों से नियम की पुष्टि करें। उदाहरण: 4, 9, ?, 25, 36 — यहाँ वर्गों का क्रम 2², 3², 4², 5², 6² है। अतः लुप्त पद 16 है।
अंत का लुप्त पद: यह सबसे सरल स्थिति है। श्रृंखला के आरंभ से नियम लगाकर अगला पद निकालें। उदाहरण: 1, 8, 27, 64, ? — घनों का क्रम 1³, 2³, 3³, 4³ है, अतः अगला 5³ = 125 है।
उदाहरण 3: ?, 20, 16, 12, 8 में लुप्त पद ज्ञात कीजिए।
हल: नियम -4 है। पीछे से: 20 + 4 = 24। अतः लुप्त पद 24 है। सत्यापन: 24 - 4 = 20 सही है।
उदाहरण 4: 7, 12, 19, ?, 39, 52 में लुप्त पद ज्ञात कीजिए।
हल: अंतर 5, 7, ?, ?, 13 हैं। विषम क्रम में अंतर 5, 7, 9, 11, 13 होने चाहिए। अतः 19 + 9 = 28 और 28 + 11 = 39, सही। लुप्त पद 28 है।
कुछ प्रश्नों में श्रृंखला के एक पद को बदलने के लिए कहा जाता है क्योंकि वह पद नियम का पालन नहीं करता। ऐसे प्रश्नों में पहले पूरी श्रृंखला का नियम खोजें, फिर उस पद की पहचान करें जो उस नियम से बाहर है।
उदाहरण 5: श्रृंखला 1, 2, 4, 8, 17, 32, 64 में कौन-सा पद गलत है?
हल: नियम ×2 है। 8 × 2 = 16 होना चाहिए, परंतु 17 लिखा है। अतः गलत पद 17 है, सही पद 16 होगा।
मिश्रित अक्षर-संख्या श्रृंखला: इसमें अक्षर और संख्याएँ एक साथ होती हैं। जैसे A2, C4, E6, G8, ? — यहाँ अक्षर +2 और संख्या +2 के क्रम में हैं। अतः अगला पद I10 होगा। ऐसे प्रश्नों में अक्षर और संख्या के क्रम को अलग-अलग पहचानें।
उदाहरण 6: श्रृंखला B1, D3, F5, H7, ? में अगला पद ज्ञात कीजिए।
हल: अक्षर B, D, F, H (+2) और संख्या 1, 3, 5, 7 (+2)। अगला अक्षर J और संख्या 9। अतः उत्तर J9 है।
उदाहरण 7: 2, 4, 12, 48, ?, 1440 में लुप्त पद ज्ञात कीजिए।
हल: नियम ×2, ×3, ×4, ×5, ×6 है। 2×2 = 4, 4×3 = 12, 12×4 = 48, 48×5 = 240, 240×6 = 1440। अतः लुप्त पद 240 है।
| लुप्त पद की स्थिति | विधि | उदाहरण | उत्तर |
|---|---|---|---|
| आरंभ में | पीछे से उल्टे क्रम | ?, 20, 16, 12, 8 | 24 |
| मध्य में | दोनों ओर से पुष्टि | 7, 12, 19, ?, 39, 52 | 28 |
| अंत में | आरंभ से आगे | 1, 8, 27, 64, ? | 125 |
| गलत पद | नियम से श्रृंखला बनाएँ | 1, 2, 4, 8, 17, 32 | 17 गलत |
| नियम | स्वरूप | उदाहरण |
|---|---|---|
| समान अंतर | +k या -k | 5, 10, 15, 20 |
| गुणा | ×k | 2, 6, 18, 54 |
| मिश्रित | ×2 + 2 | 2, 6, 14, 30 |
| वर्ग | n² | 1, 4, 9, 16 |
| घन | n³ | 1, 8, 27, 64 |
| बढ़ता कारक | ×2, ×3, ×4 | 2, 4, 12, 48 |
flowchart TD
A[लुप्त श्रृंखला] --> B[स्थिति की पहचान]
A --> C[नियम की खोज]
A --> D[सत्यापन]
B --> B1[आरंभ में]
B --> B2[मध्य में]
B --> B3[अंत में]
C --> C1[अंतर-श्रृंखला]
C --> C2[गुणा-भाग]
C --> C3[वर्ग-घन]
D --> D1[नियम को पूरी श्रृंखला पर लागू करें]
D --> D2[गलत पद की पहचान]
लुप्त श्रृंखला तर्कशक्ति का ऐसा भाग है जो श्रृंखला की पूर्ण समझ की परीक्षा लेता है। इस अध्याय में हमने लुप्त पद की स्थिति (आरंभ, मध्य, अंत) के अनुसार हल करने की विधि, गलत पद की पहचान और मिश्रित अक्षर-संख्या श्रृंखला को हल करना सीखा। सत्यापन की आदत ने हमें गलत उत्तर चुनने से बचाया है। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा में ये प्रश्न नियमित रूप से आते हैं और विधि की पकड़ होने पर बहुत कम समय में हल हो जाते हैं। विभिन्न प्रकार की श्रृंखलाओं का नियमित अभ्यास और पुनरावृत्ति ही इस विषय में सफलता दिलाती है। यह अध्याय मिश्रित श्रृंखला और संख्या पैटर्न वाले आगामी विषयों की मजबूत नींव तैयार करता है।