विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (बीजगणित) अध्याय: 3.1 बीजीय व्यंजक विषय-वस्तु: पद, गुणांक, व्यंजकों की संक्रियाएँ
रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में बीजगणित का अध्याय सदैव महत्वपूर्ण रहता है। इस अध्याय का आधार बीजीय व्यंजक (Algebraic Expression) है, जिसमें संख्याओं के साथ-साथ चर राशियाँ (जैसे x, y, a, b) एवं संक्रियाएँ जोड़, घटाव, गुणा और भाग सम्मिलित रहती हैं। बीजगणित में अक्षरों को संख्याओं के स्थान पर प्रयोग किया जाता है, जिससे अज्ञात राशियों का मान ज्ञात किया जा सकता है। ग्रुप D की परीक्षा में सीधे प्रश्न सामान्यतः सरल होते हैं, परंतु उन्हें हल करने के लिए पद (Term), गुणांक (Coefficient) तथा संक्रियाओं की पूर्ण समझ आवश्यक है।
इस अध्याय में सबसे पहले हम पद, चर, अचर राशि, गुणांक एवं व्यंजक के विभिन्न प्रकारों को समझेंगे। इसके बाद बीजीय व्यंजकों पर होने वाली संक्रियाएँ जैसे योग, व्यवकलन, गुणा एवं भाग को चरणबद्ध ढंग से सीखेंगे। जिन पदों में चर तथा उनकी घातें समान होती हैं उन्हें समान पद (Like Terms) कहते हैं, और इन्हें ही एक साथ जोड़ा या घटाया जा सकता है। असामान पदों (Unlike Terms) को जोड़ना या घटाना संभव नहीं है।
बीजीय व्यंजकों का अध्ययन ही आगे आने वाले सर्वसमिकाओं, रैखिक समीकरण, द्विघात समीकरण और शब्द समस्याओं की नींव है। यदि पदों एवं गुणांकों की समझ स्पष्ट हो जाए तो परीक्षा में बीजगणित के प्रश्नों को कम समय में हल किया जा सकता है। इस अध्याय को ध्यानपूर्वक पढ़ें तथा प्रत्येक उदाहरण को कागज पर हल करें, क्योंकि रेलवे परीक्षा में गति एवं शुद्धता दोनों का महत्व समान रूप से होता है।
बीजीय व्यंजक विभिन्न पदों (Terms) से मिलकर बनता है। पद वह भाग होता है जिसमें संख्या और चर गुणा के रूप में जुड़े होते हैं। उदाहरण के लिए व्यंजक 5x^2 - 3xy + 7 में तीन पद हैं: 5x^2, -3xy और 7। यहाँ x और y चर राशियाँ हैं जिनका मान बदल सकता है, जबकि 7 एक अचर पद (Constant) है जिसका मान नहीं बदलता।
7x में x का गुणांक 7 है और -5y^2 में y^2 का गुणांक -5 है।प्रकार: एक पद वाले व्यंजक को एकपदी (Monomial), दो पदों वाले को द्विपद (Binomial) और तीन पदों वाले को त्रिपद (Trinomial) कहते हैं। तीन से अधिक पदों वाले व्यंजक को सामान्यतः बहुपद (Polynomial) कहते हैं। किसी व्यंजक में चर की अधिकतम घात को उस व्यंजक की घात (Degree) कहते हैं। उदाहरण के लिए 3x^2 + 2x + 1 की घात 2 है।
हल किया गया उदाहरण 1: व्यंजक 4x^3 + 5x^2 - 3x + 6 में पदों की संख्या, x^3 का गुणांक, अचर पद तथा व्यंजक की घात बताइए।
4x^3, 5x^2, -3x और 6।हल किया गया उदाहरण 2: यदि x = 2 हो तो 3x^2 + 4x - 5 का मान ज्ञात कीजिए।
3(2)^2 + 4(2) - 53 × 4 + 8 - 512 + 8 - 515।बीजीय व्यंजकों पर जोड़, घटाव, गुणा एवं भाग की संक्रियाएँ की जाती हैं। इन संक्रियाओं के नियम निम्नलिखित हैं:
x^a × x^b = x^(a+b)।x^a ÷ x^b = x^(a-b)।हल किया गया उदाहरण 3: (7x + 5y) + (3x - 2y) ज्ञात कीजिए।
7x + 3x = 10x तथा 5y - 2y = 3y।10x + 3y।हल किया गया उदाहरण 4: (5a^2 - 3ab) - (2a^2 + 4ab) ज्ञात कीजिए।
5a^2 - 3ab - 2a^2 - 4ab(5a^2 - 2a^2) + (-3ab - 4ab)3a^2 - 7ab।हल किया गया उदाहरण 5: (4x^2) × (3x^3) ज्ञात कीजिए।
4 × 3 = 12; घातों का योग = 2 + 3 = 5।12x^5।हल किया गया उदाहरण 6: 15x^4 ÷ 3x^2 ज्ञात कीजिए।
15 ÷ 3 = 5; घातों का अंतर = 4 - 2 = 2।5x^2।समान पद वे पद होते हैं जिनमें चर तथा उनकी घातें बिल्कुल एक जैसी हों। उदाहरण के लिए 3xy और -7xy समान पद हैं, जबकि 3x^2y और 3xy^2 समान नहीं हैं क्योंकि घातें अलग-अलग हैं। असामान पदों को कभी भी जोड़ा या घटाया नहीं जा सकता, उन्हें उनके चिह्न सहित यथावत लिखना पड़ता है।
1x को केवल x लिखते हैं।हल किया गया उदाहरण 7: व्यंजक 8x + 3y - 2x + 5y + 4 को सरल कीजिए।
8x - 2x = 6x; y वाले पद: 3y + 5y = 8y।4। अतः सरल रूप = 6x + 8y + 4।हल किया गया उदाहरण 8: (6x^2 - 4xy) + (5xy - 3x^2) - (2x^2 - xy) ज्ञात कीजिए।
6x^2 - 4xy + 5xy - 3x^2 - 2x^2 + xy6 - 3 - 2 = 1, अतः x^2-4 + 5 + 1 = 2, अतः 2xyx^2 + 2xy।हल किया गया उदाहरण 9: एकपद (3x) को द्विपद (2x + 5) से गुणा कीजिए।
3x × (2x + 5) = 3x × 2x + 3x × 56x^2 + 15x।हल किया गया उदाहरण 10: यदि a = 3, b = -2 हो तो 5a - 2b + 3ab का मान ज्ञात कीजिए।
5(3) - 2(-2) + 3(3)(-2)15 + 4 - 181।| व्यंजक | पदों की संख्या | पद | चर का गुणांक | अचर पद | घात |
|---|---|---|---|---|---|
| 4x + 3 | 2 (द्विपद) | 4x, 3 | x का गुणांक = 4 | 3 | 1 |
| 5x^2 - 2x + 1 | 3 (त्रिपद) | 5x^2, -2x, 1 | x^2 का गुणांक = 5 | 1 | 2 |
| 7a^2b - 3ab | 2 (द्विपद) | 7a^2b, -3ab | a^2b का गुणांक = 7 | कोई नहीं | 3 |
| 9 | 1 (एकपदी) | 9 | कोई चर नहीं | 9 | 0 |
| 3x + 4y - 5 | 3 (त्रिपद) | 3x, 4y, -5 | x का गुणांक = 3 | -5 | 1 |
| संक्रिया | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| योग (समान पद) | केवल गुणांक जोड़ें | 5x + 3x = 8x |
| घटाव (समान पद) | केवल गुणांक घटाएँ | 7y - 2y = 5y |
| गुणा (घातें जोड़ें) | x^a × x^b = x^(a+b) | x^2 × x^3 = x^5 |
| भाग (घातें घटाएँ) | x^a ÷ x^b = x^(a-b) | x^5 ÷ x^2 = x^3 |
| चिह्न नियम | (-) × (-) = (+) | (-3x)(-2y) = 6xy |
| वितरण नियम | a(b + c) = ab + ac | 2x(x + 3) = 2x^2 + 6x |
flowchart TD
A[3.1 बीजीय व्यंजक] --> B[पद एवं गुणांक]
A --> C[व्यंजक के प्रकार]
A --> D[संक्रियाएँ]
A --> E[घात एवं मान]
B --> B1[चर x, y, a]
B --> B2[गुणांक संख्या]
B --> B3[अचर पद]
C --> C1[एकपदी]
C --> C2[द्विपद]
C --> C3[त्रिपद]
C --> C4[बहुपद]
D --> D1[जोड़ व घटाव समान पद]
D --> D2[गुणा घातें जोड़ें]
D --> D3[भाग घातें घटाएँ]
E --> E1[चर का मान रखें]
E --> E2[घात सबसे बड़ा घातांक]
2x + 3y को 5xy लिखना पूर्णतः गलत है, क्योंकि x और y भिन्न चर हैं।-(3x-2) को -3x+2 लिखना आवश्यक है।x^2 × x^3 को x^6 लिखते हैं, जबकि सही उत्तर x^5 है।1x को केवल x लिखते हैं लेकिन x का गुणांक 1 मानना आवश्यक है, विशेषकर जोड़ते समय x + x = 2x।बीजीय व्यंजक बीजगणित का प्रथम और सबसे आधारभूत विषय है, जिसकी पूर्ण समझ के बिना सर्वसमिकाएँ, समीकरण और शब्द समस्याओं को हल करना कठिन है। पद, गुणांक, अचर तथा घात की पहचान, समान पदों का संयोजन और जोड़, घटाव, गुणा, भाग के नियम इस अध्याय के मूल स्तंभ हैं। इन नियमों का अभ्यास करने से रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में बीजगणित के सरल प्रश्नों को तीव्र गति से तथा शुद्धता के साथ हल किया जा सकता है। नियमित अभ्यास ही इस अध्याय में सफलता की कुंजी है।