विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (अंकगणित) अध्याय: 2.8 पाइप और टंकी विषय-वस्तु: भरने-खाली करने वाले पाइप, शुद्ध दर
पाइप और टंकी का अध्याय वस्तुतः 'समय और कार्य' अध्याय का ही एक प्रयोग है। यहाँ टंकी को भरने या खाली करने वाले पाइपों को कार्य करने वाले व्यक्तियों की तरह माना जाता है। टंकी को भरने वाला पाइप सकारात्मक कार्य करता है, जबकि टंकी को खाली करने वाला पाइप नकारात्मक कार्य करता है। शुद्ध दर की गणना करके यह पता लगाया जाता है कि टंकी कितनी शीघ्र भरेगी या खाली होगी।
इस अध्याय में प्रतियोगी परीक्षाओं में मुख्यतः चार प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं — (क) दो या अधिक भरने वाले पाइपों का समय, (ख) भरने वाले और खाली करने वाले पाइप का संयुक्त समय, (ग) रिसाव वाले प्रश्न, और (घ) आंशिक रूप से भरी टंकी से संबंधित प्रश्न। इन सभी का हल दरों को जोड़कर या घटाकर किया जाता है।
परीक्षा की दृष्टि से यह अध्याय अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि इसके प्रश्न थोड़े से अभ्यास से पूर्ण रूप से हल किए जा सकते हैं। यदि विद्यार्थी भरने वाले पाइप के समय का व्युत्क्रम लेकर दर निकालना सीख जाए, तो जटिल से जटिल प्रश्न भी दो-तीन पंक्तियों में हल हो जाते हैं। सभी प्रश्नों में कुल कार्य को एक टंकी की क्षमता (सामान्यतः LCM) मानना सबसे सुरक्षित विधि है।
जब एक या अधिक पाइप टंकी को भरते हैं, तो उनकी भरने की दरों को जोड़ा जाता है। यदि कोई पाइप टंकी को n घंटे में भरता है, तो उसकी दर 1/n टंकी प्रति घंटा होती है।
उदाहरण 1 (दो पाइप): पाइप A एक टंकी को 6 घंटे में और पाइप B उसी टंकी को 8 घंटे में भरता है। दोनों को एक साथ खोलने पर टंकी कितनी देर में भरेगी? हल: A की दर = 1/6, B की दर = 1/8 प्रति घंटा। संयुक्त दर = 1/6 + 1/8 = (4+3)/24 = 7/24। कुल समय = 24/7 = 3.43 घंटे।
उदाहरण 2 (तीन पाइप): तीन पाइप क्रमशः 15, 20 और 30 घंटे में टंकी भरते हैं। तीनों एक साथ खोलने पर टंकी कितनी देर में भरेगी? हल: संयुक्त दर = 1/15 + 1/20 + 1/30 = (4+3+2)/60 = 9/60 = 3/20। कुल समय = 20/3 = 6.67 घंटे।
उदाहरण 3 (एक पाइप का समय): A और B मिलकर एक टंकी को 12 घंटे में भरते हैं। B अकेला उसे 20 घंटे में भर सकता है। A अकेला कितने समय में भरेगा? हल: A की दर = 1/12 − 1/20 = (5−3)/60 = 2/60 = 1/30। अतः A अकेला टंकी को 30 घंटे में भरेगा।
उदाहरण 4 (आंशिक टंकी): टंकी का 2/3 भाग पहले से भरा है। पाइप A उसे 12 घंटे में भरता है और पाइप B उसे 18 घंटे में भरता है। दोनों एक साथ खोल दिए जाएं तो शेष टंकी कितनी देर में भरेगी? हल: कुल कार्य = LCM(12,18) = 36 इकाई। A की दर = 3, B की दर = 2 इकाई/घंटा। शेष कार्य = 36 − 24 = 12 इकाई। समय = 12/5 = 2.4 घंटे।
उदाहरण 5 (बारी-बारी): पाइप A टंकी को 8 घंटे में और पाइप B उसे 12 घंटे में भरता है। दोनों एक घंटा-एक घंटा करके बारी-बारी से खोले जाते हैं, पहले A। टंकी कितनी देर में भरेगी? हल: कुल कार्य = LCM(8,12) = 24 इकाई। A की दर = 3, B की दर = 2 इकाई/घंटा। 2 घंटे में = 5 इकाई। 4 चक्र (8 घंटे) में = 20 इकाई। शेष 4 इकाई A भरेगा, समय = 4/3 = 1.33 घंटे। कुल समय = 8 + 1.33 = 9.33 घंटे।
खाली करने वाला पाइप टंकी की क्षमता घटाता है, इसलिए उसकी दर को नकारात्मक (ऋणात्मक) मानकर घटाया जाता है। शुद्ध दर = भरने वाली दरों का योग − खाली करने वाली दरों का योग।
उदाहरण 6 (भरने और खाली करने वाला): पाइप A टंकी को 10 घंटे में भरता है और पाइप B उसे 15 घंटे में खाली करता है। दोनों को एक साथ खोलने पर टंकी कितनी देर में भरेगी? हल: शुद्ध दर = 1/10 − 1/15 = (3−2)/30 = 1/30। कुल समय = 30 घंटे।
उदाहरण 7 (रिसाव): एक पाइप टंकी को 12 घंटे में भरता है। रिसाव के कारण टंकी 20 घंटे में भरती है। रिसाव पूरी भरी टंकी को कितने समय में खाली करेगा? हल: पाइप की दर = 1/12, शुद्ध दर (रिसाव सहित) = 1/20। रिसाव की दर = 1/12 − 1/20 = (5−3)/60 = 2/60 = 1/30। अतः रिसाव टंकी को 30 घंटे में खाली करेगा।
उदाहरण 8 (तीन पाइप): पाइप A टंकी को 30 मिनट में भरता है, पाइप B उसे 20 मिनट में भरता है और पाइप C उसे 40 मिनट में खाली करता है। तीनों को एक साथ खोलने पर टंकी कितनी देर में भरेगी? हल: शुद्ध दर = 1/30 + 1/20 − 1/40 = (4+6−3)/120 = 7/120। कुल समय = 120/7 = 17.14 मिनट।
उदाहरण 9 (क्षमता प्रश्न): एक टंकी 2400 लीटर की है। पाइप A उसे 5 घंटे में और पाइप B उसे 6 घंटे में भरता है। दोनों एक साथ खोलने पर टंकी कितनी देर में भरेगी? हल: A की दर = 2400/5 = 480 लीटर/घंटा, B की दर = 2400/6 = 400 लीटर/घंटा। संयुक्त दर = 880 लीटर/घंटा। समय = 2400/880 = 2.73 घंटे।
उदाहरण 10 (खाली होना): पाइप A टंकी को 9 घंटे में भरता है और पाइप B उसे 12 घंटे में खाली करता है। टंकी भरी हुई है और दोनों को एक साथ खोल दिया गया। टंकी कितनी देर में खाली होगी? हल: शुद्ध दर = 1/9 − 1/12 = (4−3)/36 = 1/36 (धनात्मक, अतः टंकी भरेगी)। टंकी खाली नहीं होगी, भरने का समय = 36 घंटे।
जब टंकी आधी या तीसरी भरी हो, अथवा पाइपों को बारी-बारी खोला जाए, तो शुद्ध दर की अवधारणा को कार्य की इकाई विधि के साथ जोड़कर हल किया जाता है।
उदाहरण 11 (आधी भरी): एक टंकी आधी भरी है। पाइप A उसे 6 घंटे में भरता है और पाइप B उसे 12 घंटे में खाली करता है। दोनों एक साथ खोल दिए जाएं, टंकी कब खाली होगी? हल: शुद्ध दर = 1/6 − 1/12 = 1/12 (ऋणात्मक अर्थात टंकी खाली होगी)। टंकी को पूरा खाली होने में 12 घंटे, आधी टंकी को = 12/2 = 6 घंटे।
उदाहरण 12 (तीन नल): दो नल A और B किसी टंकी को क्रमशः 20 और 30 मिनट में भरते हैं तथा तीसरा नल C उसे 15 मिनट में खाली करता है। तीनों एक साथ खोलने पर क्या होगा? हल: शुद्ध दर = 1/20 + 1/30 − 1/15 = (3+2−4)/60 = 1/60। दर धनात्मक है, अतः टंकी भरेगी, समय = 60 मिनट।
उदाहरण 13 (बारी-बारी भरना-खाली करना): A टंकी को 15 घंटे में भरता है और B उसे 30 घंटे में खाली करता है। दोनों को बारी-बारी एक-एक घंटा खोला जाता है, पहले A। टंकी कितनी देर में भरेगी? हल: कुल कार्य = LCM(15,30) = 30 इकाई। A की दर = +2, B की दर = −1 इकाई/घंटा। 2 घंटे में शुद्ध कार्य = +1 इकाई। 28 चक्र (56 घंटे) में +28 इकाई, शेष 2 इकाई A भरेगा = 1 घंटा। कुल समय = 56 + 1 = 57 घंटे।
| पाइप का प्रकार | चिह्न | दर |
|---|---|---|
| भरने वाला पाइप | धनात्मक (+) | 1/समय |
| खाली करने वाला पाइप | ऋणात्मक (−) | −1/समय |
| रिसाव | ऋणात्मक (−) | −1/समय |
| शुद्ध दर | भरने − खाली करने | धन हो तो भरेगा |
| स्थिति | सूत्र |
|---|---|
| केवल भरने वाले दो पाइप (a, b) | ab/(a+b) |
| भरने वाला (a) व खाली करने वाला (b) | ab/(b−a), यदि b>a |
| रिसाव की दर | 1/असली समय − 1/रिसाव सहित समय |
| आंशिक टंकी | शेष भाग / शुद्ध दर |
| लीटर में क्षमता | क्षमता / दर (लीटर/घंटा) |
flowchart TD
A[2.8 पाइप और टंकी] --> B[भरने वाले पाइप]
A --> C[खाली करने वाले पाइप]
A --> D[शुद्ध दर]
A --> E[रिसाव]
A --> F[क्षमता व लीटर]
B --> B1[दर = 1/समय]
B --> B2[ab/(a+b) सूत्र]
C --> C1[दर = −1/समय]
C --> C2[टंकी खाली होना]
D --> D1[भरने − खाली करने]
D --> D2[धनात्मक = भरेगा]
E --> E1[दरों का अंतर]
F --> F1[लीटर प्रति घंटा]
पाइप और टंकी का अध्याय समय और कार्य के सिद्धांत पर ही आधारित है, जिसमें टंकी भरने वाले पाइप धनात्मक तथा खाली करने वाले पाइप ऋणात्मक कार्य करते हैं। कुल कार्य को LCM के रूप में लेकर शुद्ध दर ज्ञात करने से सभी प्रश्नों का समय निकाला जा सकता है। दरों को सही चिह्न के साथ जोड़ने-घटाने का अभ्यास करके इस अध्याय में पूर्ण अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।