विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: गणित – संख्या पद्धति विषय-वस्तु: 1.2 BODMAS और मूल संक्रियाएँ
गणित में जब एक व्यंजक (expression) में जोड़, घटाव, गुणा, भाग, कोष्ठक तथा घात इत्यादि अनेक संक्रियाएँ एक साथ होती हैं, तो उन्हें किस क्रम में हल करना चाहिए, यह तय करना अत्यंत आवश्यक होता है। यही क्रम निर्धारित करने का नियम BODMAS कहलाता है। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा के गणित खंड में BODMAS नियम पर आधारित सरलीकरण के प्रश्न लगभग प्रत्येक वर्ष पूछे जाते हैं। ये प्रश्न कम समय में हल होने वाले स्कोरिंग प्रश्न होते हैं, जिनसे आसानी से अंक अर्जित किए जा सकते हैं।
BODMAS का पूर्ण रूप है — Bracket (कोष्ठक), Order (घात अर्थात पावर), Division (भाग), Multiplication (गुणा), Addition (जोड़), Subtraction (घटाव)। हिंदी में इसका क्रम इस प्रकार है — कोष्ठक, घात (of), भाग, गुणा, जोड़, घटाव। सरलीकरण करते समय सबसे पहले कोष्ठकों को अंदर से बाहर की ओर हल किया जाता है, फिर घात (of और powers), उसके बाद भाग, गुणा, जोड़ और अंत में घटाव की संक्रिया की जाती है।
कई विद्यार्थी भाग और गुणा, तथा जोड़ और घटाव के क्रम में भ्रमित हो जाते हैं। ध्यान रखें कि भाग और गुणा का क्रम समान महत्व का है, परंतु व्यंजक में जो पहले आए, उसे पहले हल किया जाता है (बाएँ से दाएँ)। इसी प्रकार जोड़ और घटाव में भी बाएँ से दाएँ क्रम अपनाया जाता है। इस अध्याय में हम कोष्ठकों के प्रकार, BODMAS क्रम के सटीक प्रयोग तथा विभिन्न प्रकार के सरलीकरण प्रश्नों का विस्तृत अध्ययन करेंगे।
सरलीकरण में मुख्यतः चार प्रकार के कोष्ठक प्रयोग होते हैं, जिन्हें निम्न क्रम में हल किया जाता है:
– (रेखा के ऊपर), सबसे पहले हल किया जाता है।हल करने का क्रम: विनकुलम → ( ) → { } → [ ]। सरलीकरण हमेशा अंदर से बाहर की ओर होता है।
उदाहरण 1: सरलीकृत कीजिए: 5 + {2 + (3 × 4)}
हल: सबसे पहले छोटा कोष्ठक हल करें — 3 × 4 = 12। अब 5 + {2 + 12} = 5 + 14 = 19। अतः उत्तर 19 है।
जब व्यंजक में भाग और गुणा दोनों उपस्थित हों, तो बाएँ से दाएँ क्रम में हल करें। उदाहरण के लिए 12 ÷ 3 × 2 में पहले 12 ÷ 3 = 4, फिर 4 × 2 = 8। यदि क्रम गलत करके पहले 3 × 2 = 6 करें तो 12 ÷ 6 = 2 आएगा, जो गलत है। इसी प्रकार जोड़ और घटाव के मिश्रण में भी बाएँ से दाएँ क्रम रखा जाता है।
उदाहरण 2: सरलीकृत कीजिए: 36 ÷ 4 × 3
हल: बाएँ से दाएँ — पहले 36 ÷ 4 = 9, फिर 9 × 3 = 27। अतः उत्तर 27 है। (ध्यान दें: यदि पहले 4 × 3 = 12 किया जाता तो 36 ÷ 12 = 3 गलत उत्तर आता।)
उदाहरण 3: सरलीकृत कीजिए: 15 - 5 + 3
हल: बाएँ से दाएँ — 15 - 5 = 10, फिर 10 + 3 = 13। अतः उत्तर 13 है।
जब व्यंजक में घात (powers) और of (का) उपस्थित हों, तो सबसे पहले कोष्ठक के बाद of का मान ज्ञात करें, फिर घात का मान निकालें। of का अर्थ गुणा होता है, परंतु BODMAS में of को घात के साथ कोष्ठक के तुरंत बाद हल किया जाता है।
उदाहरण 4: सरलीकृत कीजिए: 4 + 3² - 2 × 5
हल: पहले घात — 3² = 9। अब व्यंजक = 4 + 9 - 2 × 5। भाग/गुणा — 2 × 5 = 10। अब 4 + 9 - 10 = 13 - 10 = 3। अतः उत्तर 3 है।
उदाहरण 5: सरलीकृत कीजिए: 12 + [6 ÷ 2 × (4 + 2)]
हल: सबसे पहले छोटा कोष्ठक — 4 + 2 = 6। अब मध्यम कोष्ठक — 6 ÷ 2 × 6 = 3 × 6 = 18। अंत में 12 + 18 = 30। अतः उत्तर 30 है।
| क्रम | संक्रिया | हिंदी | उदाहरण |
|---|---|---|---|
| 1 | Bracket | कोष्ठक ( , { , [ , विनकुलम | (3 + 2) = 5 |
| 2 | Order / of | घात, of | 2³ = 8, 2 of 3 = 6 |
| 3 | Division | भाग | 12 ÷ 4 = 3 |
| 4 | Multiplication | गुणा | 4 × 3 = 12 |
| 5 | Addition | जोड़ | 7 + 5 = 12 |
| 6 | Subtraction | घटाव | 12 - 3 = 9 |
| कोष्ठक | चिह्न | हल करने का क्रम |
|---|---|---|
| विनकुलम | संख्या के ऊपर रेखा | सबसे पहले |
| छोटा | ( ) | दूसरे |
| मध्यम | { } | तीसरे |
| बड़ा | [ ] | सबसे अंत में |
flowchart TD
A[BODMAS और मूल संक्रियाएँ] --> B[कोष्ठक]
A --> C[घात और of]
A --> D[भाग और गुणा]
A --> E[जोड़ और घटाव]
B --> B1[विनकुलम]
B --> B2[छोटा ( )]
B --> B3[मध्यम { }]
B --> B4[बड़ा [ ]]
D --> D1[बाएँ से दाएँ क्रम]
E --> E1[बाएँ से दाएँ क्रम]
C --> C1[2³ = 8]
C --> C2[3 of 4 = 12]
BODMAS नियम गणितीय सरलीकरण की रीढ़ है, जिसका उपयोग प्रत्येक अध्याय में होता है। इस अध्याय में हमने BODMAS के छह चरणों, कोष्ठकों के प्रकार तथा उनके हल करने के क्रम, भाग-गुणा और जोड़-घटाव में बाएँ से दाएँ नियम तथा घातों सहित सरलीकरण की विधि सीखी। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा में इस अध्याय से प्रत्येक पेपर में प्रश्न आते हैं, अतः इसकी दृढ़ पकड़ अनिवार्य है। नियमित अभ्यास से विद्यार्थी जटिल से जटिल व्यंजक को कुछ ही सेकंड में सटीक हल कर सकता है और परीक्षा में बहुमूल्य अंक अर्जित कर सकता है।