विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: गणित – अंकगणित विषय-वस्तु: 2.11 आयु गणना
आयु गणना (Age Calculation) अंकगणित का वह विषय है जिसमें व्यक्तियों की वर्तमान, भूतकालिक और भविष्य की आयु के संबंध में समीकरणों की सहायता से प्रश्न हल किए जाते हैं। इन प्रश्नों का मूल आधार यह है कि दो व्यक्तियों की आयु में अंतर हमेशा स्थिर रहता है, चाहे वर्तमान, 5 वर्ष पहले या 10 वर्ष बाद की आयु पर विचार करें। इस स्थिर अंतर के गुण का उपयोग करके समीकरण बनाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि पिता की आयु पुत्र की आयु की तीन गुनी है और दोनों की आयु का योग 48 वर्ष है, तो इन्हीं दो समीकरणों से दोनों की आयु ज्ञात की जा सकती है। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में आयु गणना के प्रश्न नियमित रूप से पूछे जाते हैं।
आयु गणना के प्रश्नों में दो चरों वाले सरल समीकरण प्रायः प्रयोग होते हैं। वर्तमान आयुओं को x और y मानकर, प्रश्न में दी गई शर्तों के अनुसार समीकरण बनाए जाते हैं। यदि कहा गया है कि 5 वर्ष पहले A की आयु B की आयु की दुगनी थी, तो समीकरण (A - 5) = 2(B - 5) बनता है। यदि कहा गया है कि 3 वर्ष बाद A की आयु B की आयु का 3/2 गुना होगी, तो (A + 3) = (3/2)(B + 3) बनता है। इन समीकरणों को हल करके दोनों चरों के मान ज्ञात किए जाते हैं। आयु गणना में अनुपात वाले प्रश्न भी प्रचलित हैं, जिनमें आयुओं का अनुपात और उसका परिवर्तन दिया जाता है।
रेलवे परीक्षा की दृष्टि से आयु गणना के प्रश्नों में चार मुख्य प्रकार होते हैं। पहला, आयु का योग और अंतर वाले प्रश्न। दूसरा, आयु के अनुपात वाले प्रश्न। तीसरा, किसी निश्चित समय पहले या बाद की आयु के संबंध वाले प्रश्न। चौथा, परिवार के सदस्यों की औसत आयु पर आधारित प्रश्न। इन सभी प्रकारों में सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि वर्तमान आयु के सापेक्ष ही पिछली और भविष्य की आयु लिखी जाए। आयु गणना में विकल्पों की सहायता से उत्तर की जाँच करना भी बहुत सुविधाजनक होता है, क्योंकि दिए गए विकल्पों में से सही मान ही सभी शर्तों को संतुष्ट करता है।
आयु गणना के सबसे सरल प्रश्न योग और अंतर पर आधारित होते हैं। यदि दो व्यक्तियों की वर्तमान आयु का योग S है और अंतर D है, तो बड़ी आयु = (S + D)/2 और छोटी आयु = (S - D)/2 होती है। इसी प्रकार यदि आयुओं का अनुपात a : b दिया हो और योग S हो, तो आयुएँ aS/(a + b) और bS/(a + b) होंगी। इन सरल सूत्रों से कई प्रश्न तत्काल हल हो जाते हैं। कुछ प्रश्नों में योग के साथ बाद या पहले के समय की स्थिति भी दी जाती है, जिसमें पहले समीकरण बनाकर हल किया जाता है।
उदाहरण 1: पिता और पुत्र की वर्तमान आयु का योग 50 वर्ष है। पिता की आयु पुत्र से 30 वर्ष अधिक है। दोनों की आयु ज्ञात कीजिए।
हल: बड़ी आयु = (50 + 30)/2 = 40 वर्ष। छोटी आयु = (50 - 30)/2 = 10 वर्ष। अतः पिता 40 वर्ष और पुत्र 10 वर्ष का है।
उदाहरण 2: दो भाइयों की आयु का अनुपात 4 : 3 है और योग 28 वर्ष है। बड़े भाई की आयु ज्ञात कीजिए।
हल: बड़े भाई की आयु = 28 × 4/7 = 16 वर्ष।
ऐसे प्रश्नों में वर्तमान आयु के सापेक्ष कुछ वर्ष पहले या कुछ वर्ष बाद की आयु के संबंध दिए जाते हैं। इस प्रकार के प्रश्नों में वर्तमान आयुओं को x और y मानकर दी गई शर्तों के अनुसार समीकरण बनाए जाते हैं। समीकरण बनाते समय वर्तमान आयु में घटाव या जोड़ दोनों पक्षों पर लागू करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, 4 वर्ष पहले A की आयु B की आयु से दुगनी थी, तो A - 4 = 2(B - 4)। 6 वर्ष बाद A की आयु B की आयु की दुगनी होगी, तो A + 6 = 2(B + 6)। दो समीकरणों को जोड़कर या घटाकर दोनों आयुएँ ज्ञात की जाती हैं।
उदाहरण 3: 4 वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की तीन गुनी थी। 4 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु की दुगनी होगी। वर्तमान में पिता और पुत्र की आयु ज्ञात कीजिए।
हल: माना पुत्र की वर्तमान आयु x और पिता की y। (y - 4) = 3(x - 4) अर्थात y = 3x - 8। तथा (y + 4) = 2(x + 4) अर्थात y = 2x + 4। अतः 3x - 8 = 2x + 4, x = 12 और y = 28। पिता 28 वर्ष, पुत्र 12 वर्ष।
उदाहरण 4: 10 वर्ष पहले A की आयु B की आयु की आधी थी। उनकी वर्तमान आयु का योग 41 वर्ष है। B की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल: माना B की आयु x, तब A की आयु 41 - x। (41 - x - 10) = (x - 10)/2, अर्थात 31 - x = (x - 10)/2। 62 - 2x = x - 10, 3x = 72, x = 24 वर्ष।
आयु के अनुपात वाले प्रश्नों में दी गई वर्तमान आयुओं का अनुपात a : b मानकर, कुछ वर्ष पहले या बाद के अनुपात से समीकरण बनाया जाता है। माना आयुएँ ax और bx हैं, तो बाद या पहले की स्थिति के अनुसार नया समीकरण बनाकर x ज्ञात किया जाता है। इसके अलावा परिवार के सदस्यों की औसत आयु वाले प्रश्नों में औसत = आयुओं का योग / सदस्यों की संख्या सूत्र का उपयोग होता है। यदि परिवार के n सदस्यों की औसत आयु ज्ञात हो और किसी सदस्य की आयु ज्ञात करनी हो, तो कुल योग से बाकी सदस्यों की आयुओं का योग घटाया जाता है।
उदाहरण 5: पिता और पुत्र की वर्तमान आयु का अनुपात 7 : 3 है। 5 वर्ष बाद अनुपात 2 : 1 हो जाता है। पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल: माना आयुएँ 7x और 3x हैं। (7x + 5)/(3x + 5) = 2/1, अर्थात 7x + 5 = 6x + 10, x = 5। पुत्र की आयु = 3 × 5 = 15 वर्ष।
उदाहरण 6: एक परिवार में पिता, माता और पुत्र की औसत आयु 24 वर्ष है। पिता और माता की औसत आयु 30 वर्ष है। पुत्र की आयु ज्ञात कीजिए।
हल: तीनों की कुल आयु = 24 × 3 = 72 वर्ष। पिता और माता की कुल आयु = 30 × 2 = 60 वर्ष। पुत्र की आयु = 72 - 60 = 12 वर्ष।
| स्थिति | सूत्र | टिप्पणी |
|---|---|---|
| योग S और अंतर D | (S + D)/2, (S - D)/2 | बड़ी और छोटी आयु |
| अनुपात a : b और योग S | aS/(a+b), bS/(a+b) | दोनों आयुएँ |
| n वर्ष पहले | (A - n) = k(B - n) | दोनों पक्षों से घटाएँ |
| n वर्ष बाद | (A + n) = k(B + n) | दोनों पक्षों में जोड़ें |
| औसत आयु | योग / सदस्यों की संख्या | सदस्यों की कुल आयु |
| प्रश्न का प्रकार | समीकरण | उत्तर |
|---|---|---|
| योग 50, अंतर 30 | (50 ± 30)/2 | 40, 10 वर्ष |
| अनुपात 7 : 3, 5 वर्ष बाद 2 : 1 | (7x+5)/(3x+5) = 2 | पुत्र 15 वर्ष |
| 4 वर्ष पहले तीन गुना, बाद दुगुना | y = 3x - 8 = 2x + 4 | पिता 28, पुत्र 12 |
| औसत आयु वाला प्रश्न | 72 - 60 | पुत्र 12 वर्ष |
flowchart TD
A[आयु गणना] --> B[योग और अंतर]
A --> C[अनुपात वाले प्रश्न]
A --> D[पहले / बाद की आयु]
A --> E[औसत आयु]
B --> B1[(S + D)/2 और (S - D)/2]
C --> C1[माना आयुएँ ax, bx]
C --> C2[नया अनुपात से समीकरण]
D --> D1[(A - n) = k(B - n)]
D --> D2[(A + n) = k(B + n)]
E --> E1[औसत = योग / संख्या]
A --> F[आयु का अंतर हमेशा स्थिर]
आयु गणना अंकगणित का वह विषय है जो रैखिक समीकरणों के माध्यम से व्यक्तियों की आयु ज्ञात करना सिखाता है। इस अध्याय में हमने योग और अंतर के सूत्र, अनुपात पर आधारित प्रश्न, पहले और बाद की आयु वाले समीकरण तथा औसत आयु की गणना सीखी। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में इन्हीं अवधारणाओं से प्रश्न पूछे जाते हैं। आयु का अंतर स्थिर रहने के गुण और सही समीकरण निर्माण की कला ही सटीक उत्तर की कुंजी है। नियमित अभ्यास और उत्तर की जाँच की आदत से इस विषय में महारत हासिल कर परीक्षा में सुनिश्चित अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।